Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 125
Beweis: Wir rechnen zunächst formal
∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣
∣∣1
∣∣∣∣
∫
∫
f ∗ g = f (y)g(x − y) dy
∣
∫R dx ≤ n
R
∫ ∫R n
n
∫
R
∫R n ∫
n
R n | f (y)g(x − y)| dy dx
= | f (y)g(x − y)| dx dy = | f (y)g(x)| dx dy
R n R
∫ ∫
n
= | f (y)| dy |g(x)| dx = ∣ ∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣1
∣ ∣∣ ∣∣g
∣ ∣∣ ∣∣1 f .
R n R n
Da die letzte Zeile existiert, existiert die davor und schliesslich folgt die Behauptung
aus dem Satz von Fubini. Die behaupteten Identitäten rechnet man leicht nach.
Wir zeigen nun, dass das Faltungsintegral als Bochner-Integral in L 1 (R n ) existiert.
Für x ∈ R n und f : R n → C sei L x f (y) = f (y − x).
Lemma 10.2.2 Sei 1 ≤ p < ∞.
(a) Der Raum C c (R n ) liegt dicht in L p (R n ).
(b) Sei g ∈ L p (R n ). Die Abbildung x ↦→ L x g ist eine stetige Abbildung von R n nach L p (R n ).
Beweis: (a) Sei f ∈ L p (R n ). Wir wollen zeigen, dass f ein L p -Limes von Funktionen aus
C c (R n ) ist. Indem wir f in Real- und Imaginärteil und dann weiter in Positiv- und
Negativteil zerlegen, sehen wir, dass es ausreicht, f ≥ 0 anzunehmen. Dann ist f ein
punktweiser Limes einer monoton wachsenden Folge von Lebesgueschen
Treppenfunktionen. Es reicht als aus, f selbst als Treppenfunktion anzunehmen, bzw
wegen Linearität kann man gleich f = 1 A voraussetzen, wobei A endliches Maß hat.
Wegen der äusseren Regularität des Lebesgue-Maßes, gibt es eine Folge U n offener
Mengen mit U n ⊃ U n+1 ⊃ A so dass µ(U n ) → µ(A), d.h., ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣1A
− 1 Un
∣ ∣∣
∣ ∣∣p
→ 0. Wir können
also annehmen, dass A selbst offen ist. Wegen der inneren Regularität existiert eine
Folge kompakter Mengen K n ⊂ K n+1 ⊂ A so dass ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣1A
− 1 Kn
∣ ∣∣
∣ ∣∣p
→ 0. Nach dem Lemma
von Urysohn gibt es zu jedem n ∈ N eine Funktion ϕ n ∈ C c (R n ) mit 1 Kn ≤ ϕ n ≤ 1 A .
Dann folgt ϕ n → 1 A in der L p -Norm.
(b) Wir zeigen, dass es zu jedem ε > 0 eine Nullumgebung U in R n gibt, so dass
□
y ∈ U ⇒ ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣Ly
g − g ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣p
< ε.
Hierzu nehmen wir zunächst an, dass g ∈ C c (R n ) ist. Wähle ε > 0 und sei K der Träger
von g. Der Träger von L y g ist dann y + K. Sei U 0 eine kompakte Nullumgebung in R n .
Für y ∈ U 0 gilt supp L y g ⊂ U 0 + K.