Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 15
Schnitteigenschaft, also gibt es ein z i in deren Schnitt. Sei
U = U i1 × · · · × U in ×
∏
ii 1 ,...,i n
X i
eine offene Umgebung von z = (z i ) i∈I . Sei k ∈ {1, . . . , n}. So gibt es zu jedem F ν ∈ F ∗ ein
f ∈ F ν mit p ik ( f ) ∈ U ik , also gilt mit S k = p −1
i k
(U ik ), dass S k ∩ F ν ∅ ist. Nach (B) ist
S k ∈ F ∗ . Nach (A) ist dann U = S 1 ∩ · · · ∩ S n ∈ F ∗ . Insbesondere hat U also nichtleeren
Schnitt mit jedem F ∈ F ∗ , also auch mit jedem F ∈ F . Da die Umgebungen U dieser
Form eine Umgebungsbasis bilden, liegt z im Abschluss von F ν also in F ν für jedes
ν ∈ N. Damit ist ⋂ n∈N F n nichtleer und X ist kompakt.
□
1.8 Das Lemma von Urysohn
Ein Hausdorff-Raum heisst lokalkompakt, falls jeder Punkt eine kompakte
Umgebung besitzt. Beispiel: R n . Eine Teilmenge A ⊂ X eines topologischen Raums
heisst relativ kompakt, falls der Abschluss A ⊂ X kompakt ist.
Lemma 1.8.1 (Lemma von Urysohn) Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum. Sei
K ⊂ X kompakt und A ⊂ X abgeschlossen mit K ∩ A = ∅.
(i) Es existiert eine relativ kompakte offene Umgebung U von K so dass
K ⊂ U ⊂ U ⊂ X A.
(ii) Es gibt eine stetige Abbildung mit kompaktem Träger f : X → [0, 1] mit f ≡ 1 auf K
und f ≡ 0 auf A.
Beweis: (a) Sei a ∈ A. Für jedes k ∈ K gibt es eine offene, relativ kompakte Umgebung
U k von k und eine Umgebung U k,a von a mit U k ∩ U k,a = ∅. Die Familie (U k ) k∈K ist eine
offene Überdeckung von K. Da K kompakt ist, reichen endlich viele. Sei V die
Vereinigung dieser endlich vielen offenen Mengen und sei W der Schnitt der
entsprechenden endlich vielen U k,a . Dann sind V und W offene Umgebungen von K
und a und V ist relativ kompakt.