Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 25
2 Normierte Räume
2.1 Definition
In dieser Vorlesung werden nur Vektorräume über R oder C betrachtet. Wir schreiben
daher K für den Grundkörper, also
K = R oder C.
Lemma 2.1.1 (a) Ist V ein R-Vektorraum, so ist
V C = V ⊗ R C = V + iV
ein komplexer Vektorraum, der die Komplexifizierung von V genannt wird.
(b) Ist V ein C-Vektorraum und ist f : V → R eine R-lineare Abbildung, dann existiert
genau eine C-lineare Abbildung g : V → C so dass
f = Re(g).
Beweis: (a) ist klar. Für (b) Setze g(v) = f (v) − i f (iv). Wir wollen zeigen, dass g
komplex-linear ist. Da g schon reell-linear ist, reicht es zu zeigen, dass g(iv) = ig(v) für
jedes v ∈ V gilt. Hierzu rechnen wir
g(iv) = f (iv) − i f (iiv) = f (iv) + i f (v)
= i( f (v) − i f (iv)) = ig(v)
Nun zur Eindeutigkeit von g: Sei h eine weitere komplex-lineare Abbildung mit
Re(h) = f . Sei τ = g − h, dann folgt Re(τ) = 0. Ist v ∈ V, so folgt dann Re(τ(v)) = 0 und
da dies auch für iv gilt, folgt
0 = Re(τ(iv)) = Re(iτ(v)) = − Im(τ(v)),
also ist τ(v) = 0.
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Ein normierter Vektorraum ist ein K-Vektorraum V mit einer Abbildung
||·|| : V → [0, ∞) so dass für v, w ∈ V und α ∈ K gilt:
• ||v|| = 0 ⇔ v = 0
(Definitheit)