Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 108
offene Umgebung von x. Daher existiert ein i 0 so dass x i ∈ V fuer jedes i ≥ i 0 , also
f (x i ) ∈ U fuer jedes i ≥ i 0 , also konvergiert f (x i ) gegen f )x).
Fuer die umgekehrte Richtung nimm an, dass f die Limes-Bedingung erfüllt. Sei
A ⊂ Y abgeschlossen und sei B ⊂ X das Urbild zu A. Wir müssen zeigen, dass B
abgeschlossen ist. Sei hierzu b i ein Netz in B, konvergent gegen x ∈ X. Dann
konvergiert das Netz f (x i ) ∈ A gegen f (x). Da A abgeschlossen ist, folgt f (x) ∈ A, also
x ∈ f −1 (A) = B, damit ist B abgeschlossen.
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Proposition 9.1.8 Ein topologischer Raum X ist genau dann kompakt, wenn jedes Netz in X
ein konvergentes Teilnetz hat.
Beweis: Sei X kompakt und sei (x i ) i∈I ein Netz in X. Fuer jedes i ∈ I sei A i der
Abschluss der Menge {x j : j ≥ i}. Jeder endliche Schnitt von Mengen der Form A i , i ∈ I
ist nichtleer, also ist nach der endlichen Schnitteigenschaft
⋂
A i ∅.
i∈I
Sei also x in jedem A i . Das bedeutet, dass man zu jeder Umgebung U von x und jedem
Index i ∈ I einen Index i ′ ≥ i findet mit x i ′ = x φ(U,i) ∈ U. Sei J die Menge aller Paare
(U, i), wobei U eine Umgebung von x ist und i ∈ I. Wir ordnen J wie folgt:
(U, i) ≤ (U ′ , i ′ ) ⇔ U ⊃ U ′ und i ≤ i ′ .
Wir haben eine Abbildung φ : J → I konstruiert, von der wir nun zeigen, dass sie
streng cofinal ist. Hierzu sei i ∈ I und wähle ein Element j = (U, i) ∈ J mit i als zweitem
Argument. Nach Konstruktion ist φ(j ′ ) ≥ i fuer jedes j ′ ≥ j, also ist φ streng cofinal.
Wir behaupten, dass das konstruierte Teilnetz φ : J → X konvergiert. Sei hierzu U eine
Umgebung von x und wähle ein Element j 0 = (U, i) ∈ J. Fuer jedes j ≥ j 0 gilt dann
φ(j) ∈ U, also hat (x i ) ein konvergentes Teilnetz.
Fuer die Rückrichtung nimm an, dass jedes Netz ein konvergentes Teilnetz hat. Sei A
ein System abgeschlossener Teilmengen so dass jeder endliche Schnitt nichtleer ist.
Wir müssen zeigen, dass der Schnitt aller Elemente von A nichtleer ist. Hierzu sei B
die Menge aller endlichen Schnitte von Elementen von A. Ordne B via
B 1 ≥ B 2 ⇔ B 1 ⊂ B 2 . Dann ist B gerichtet. Fuer jedes B ∈ B wähle ein x b ∈ B. Dann ist
(x B ) B∈B ein Netz in X und nach der Annahme existiert ein Teilnetz (x Bj ) j∈J das gegen
ein x ∈ X konvergiert. Aber dann gilt x ∈ B fuer jedes B ∈ B, denn fuer festes B können