Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 47
konvergiert auch die Reihe v = ∑ ∞
j=0 v j und es gilt ||v|| < ε, also v ∈ V ε
2 2
. Es folgt T(v) = w
und somit W δ0 ⊂ T(B ε
2
(0)).
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Sei T : V → W eine Abbildung, so ist der Graph von T die Menge
G(T) = {(v, T(v)) : v ∈ V} ⊂ V × W.
Satz 3.2.2 (Satz vom abgeschlossenen Graphen) Sei T : V → W eine lineare
Abbildung zwischen Banach-Räumen.
Der Graph G(T) ist genau dann abgeschlossen im Produkt V × W, wenn T stetig ist.
Beweis: Sei T stetig und sei (v j , T(v j )) eine Folge im Graphen, die in V × W gegen (v, w)
konvergiert. Das bedeutet v j → v und T(v j ) → w. Da T stetig ist, konvergiert T(v j )
gegen T(v), also folgt w = T(v), somit liegt (v, w) im Graphen, dieser ist also
abgeschlossen.
Sei umgekehrt der Graph abgeschlossen. Die Abgeschlossenheit des Graphen
bedeutet, dass für jede konvergente Folge v j → v in V gilt: konvergiert T(v j ) gegen
w ∈ W, so gilt T(v) = w. Der Graph ist als abgeschlossener linearer Unterraum des
Produktes selbst ein Banach-Raum. Die Abbildung P : G(T) → V, gegeben durch
P(v, T(v)) = v ist stetig, surjektiv und injektiv, also auch offen. Damit ist die
Umkehrabbildung v ↦→ (v, T(v)) stetig, also auch deren Komposition mit der zweiten
Projektion v ↦→ T(v).
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Beispiel 3.2.3 Wir geben eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen,
die einen abgeschlossenen Graphen hat, aber nicht stetig ist. Sei X = { 1 : n ∈ N} ∪ {0}
n
mit der Metrik von R. Sei Y = R und f ( 1 ) = n, sowie f (0) = 0.
n
3.3 Prinzip der gleichmässigen Beschränktheit
Satz 3.3.1 (Banach-Steinhaus) V sei ein Banach-Raum und W ein normierter Raum.
(T i ) i∈I sei eine Familie stetiger linearer Abbildungen V → W. Die Familie sei punktweise