Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 13
Beweis: Sei L eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V, d.h., es gelte für
jede linear unabhängige Teilmenge L ′ ⊂ V, dass
L ′ ⊃ L ⇒ L ′ = L.
Wir zeigen, dass L eine Basis ist. Sei dazu v ∈ V. Angenommen, v lässt sich nicht als
Linearkombination von Elementen von L darstellen. Sei L ′ = L ∪ {v}. Wir behaupten,
dass L ′ linear unabhängig ist. Es seien dazu l 1 , . . . , l n ∈ L und λ, λ 1 , . . . , λ n
Koeffizienten mit
λv + λ 1 l 1 + · · · + λ n l n = 0.
Erster Fall: λ = 0, dann folgt λ 1 l 1 + · · · + λ n l n = 0 und da L linear unabhängig ist, ist
λ 1 = · · · = λ n = 0.
Zweiter Fall: λ 0, dann ist
v = (−λ 1 /λ)l 1 + · · · + (−λ n /λ)l n ,
was im Widerspruch zur Annahme steht. Damit lässt sich v also doch als
Linearkombination von Elementen aus L darstellen und L ist eine Basis.
□
Nun beweisen wir den Satz unter Zuhilfenahme des Zornschen Lemmas. Nach
Lemma 1.6.3 brauchen wir nur zu zeigen, dass es eine maximale linear unabhängige
Menge in V gibt. Sei also S die Menge deren Elemente die linear unabhängigen
Teilmengen L von V sind. Sei K ⊂ S eine linear geordnete Teilmenge und sei
⋃
Z = L
Dann ist sicherlich Z ≥ L für jedes L ∈ K, es bleibt also zu zeigen, dass Z ∈ S gilt, also
mit anderen Worten, wir müssen zeigen, dass Z linear unabhängig ist. Seien dazu
v 1 , . . . v n ∈ Z und λ 1 , . . . , λ n Koeffizienten so dass
L∈K
λ 1 v 1 + · · · + λ n v n = 0
Da K eine linear geordnete Teilmenge ist, gibt es ein L ∈ K so dass v 1 , . . . , v n ∈ L. Da L
linear unabhängig ist, folgt λ 1 = · · · = λ n = 0.
□