Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 59
Funktional α w definiert als α w (v) = 〈v, w〉. Wir stellen nun fest, dass für die Norm
dieses Funktionals gilt
||α w || = ||w|| .
Dies folgt einerseits aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, die besagt
|α w (v)| = | 〈v, w〉 | ≤ ||v|| ||w||
und andererseits aus α w (w) = ||w|| 2 . Beachte nun
α T ∗ w(v) = 〈v, T ∗ w〉 = 〈Tv, w〉 = α w ◦ T(v). Daher folgt
||T ∗ w|| = ||α T ∗ w|| = ||α w ◦ T|| ≤ ||w|| ||T|| .
Also gilt ||T ∗ || ≤ ||T||. Weiter ist
〈v, Tw〉 = 〈T ∗ v, w〉 = 〈v, (T ∗ ) ∗ w〉 ,
also T ∗∗ = T und damit folgt aus ||T|| ≥ ||T ∗ || ≥ ||(T ∗ ) ∗ || = ||T|| schon ||T|| = ||T ∗ ||. Es gilt
||Tv|| 2 = 〈Tv, Tv〉 = 〈T ∗ Tv, v〉 = ||T ∗ Tv|| ||v|| ≤ ||T ∗ T|| ||v|| 2 ≤ ||T ∗ || ||T|| ||v|| 2 = (||T|| ||v||) 2 .
Also ||T|| 2 ≤ ||T ∗ T|| ≤ ||T|| 2 , was bedeutet ||T|| = √ ||T ∗ T||. Teil (c) ist leicht nachzurechnen. □
Beispiele 5.1.2 • Sei H = C n mit dem üblichen Skalarprodukt. Dann ist jeder
lineare Operator auf H durch eine Matrix A gegeben und es gilt A ∗ = A t wie man
in der Linearen Algebra sieht.
• Sei H = l 2 (N) und sei k : N × N → C mit C = ∑ i,j∈N |k(i, j)| 2 < ∞. Dann definiert k
einen linearen Operator T k durch
T k ϕ(i) =
∞∑
k(i, j)ϕ(j),
j=1
wobei wir jetzt Elemente von l 2 (N) als Abbildungen ϕ : N → C mit
∑
j |ϕ(j)| 2 < ∞ auffassen. Nach der Hoelder-Ungleichung gilt dann
∣ ∣ ∣Tk ϕ ∣ ∞∑
∣ ∣∣ 2 ∞∑
= k(i, j)ϕ(j)
∣
∣
i=1
j=1
2
≤
∞∑
i=1
∞∑
|k(i, j)| 2
j=1
∞∑
|ϕ(ν)| 2 = C ∣ ∣ ∣∣ϕ
∣ ∣∣ ∣∣ 2
.
Damit ist T k wohldefiniert und stetig. Wir behaupten, dass sein adjungierter
ν=1