Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 137
11.4 Temperierte Distributionen
Sei S = S(R n ) der Raum der Schwartz-Funktionen auf R n , also der Raum aller
f ∈ C ∞ (R n ) so dass σ α,β ( f ) < ∞ für alle α, β ∈ N n gilt, wobei
0
σ α,β ( f ) = sup
x∈R n |x α ∂ β f (x)|.
Wir sagen dass eine Folge ( f j ) j∈N in S gegen ein f ∈ S konvergiert, falls für je zwei
gegebene α, β ∈ N n 0 die Folge σ α,β( f j − f ) für j → ∞ gegen Null geht.
Lemma 11.4.1 Der Raum S ist ein Unterraum von L 2 (R n ). Die Inklusionsabbildung
S ↩→ L 2 (R n ) ist stetig, d.h. konvergiert die Folge ( f j ) in S gegen f , dann gilt
∣ ∣∣ ∣∣
lim j fj − f ∣ ∣ ∣∣
= 0.
2
Beweis: Es gelte f j → f in S. Insbesondere geht dann sup x∈R
| f j (x) − f (x)|(1 + |x| n )
gegen Null. Sei C = ∫ R n 1
(1+|x| n ) 2 dx und ε > 0. Es gilt dann C < ∞ und es gibt j 0 ∈ N so
dass für alle j ≥ j 0 gilt
Sei j ≥ j 0 . Dann gilt | f j (x) − f (x)| <
sup | f j (x) − f (x)|(1 + |x| n ) < √ ε/C.
x∈R
√
ε/C
1+|x| n
für jedes x ∈ R n . Damit
∣ ∣ fj − f ∣ ∫
∫
∣
∣∣ 2
= | f j (x) − f (x)| 2 dx <
2
R n
Eine temperierte Distribution ist eine lineare Abbildung
R n
ε/C
dx = ε. □
(1 + |x| n )
2
T : S → C
so dass
lim T( f k) = T( f )
k→∞
für jede gegen f konvergente Folge ( f k ) in S gilt. Es ist leicht zu sehen, dass jede in
C ∞ c (R n ) konvergente Folge g j → g ebenfalls in S gegen g konvergiert, so dass jede
temperierte Distribution T durch Einschränkung auf C ∞ c (R n ) auch eine Distribution
definiert. Wir schreiben S ′ für den Raum aller Distributionen.