Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 3
1 Allgemeine Topologie
Wir erinnern an die Definition einer Topologie. Eine Topologie auf einer Menge X ist
ein System von Teilmengen O ⊂ P(X), das unter endlichen Schnitten und beliebigen
Vereinigungen abgeschlossen ist. Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, O)
bestehend aus einer Menge X und einer Topologie O auf X. Die Mengen A ∈ O heissen
offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossene Mengen. Zu jeder Menge
A ⊂ X gibt es eine kleinste abgeschlossene Menge A, die A enthält, genauer ist
Beispiele 1.0.1
A =
⋂
C⊃A
C⊂X abgeschlossen
• Auf jeder Menge X gibt es die triviale Topologie O = {∅, X},
sowie die diskrete Topologie O = P(X).
• Ist (X, d) ein metrischer Raum, so ist
C.
O = {U ⊂ X : x ∈ U ⇒ U ε (x) ⊂ U für ein ε > 0}
eine Topologie.
• Sei X eine unendliche Menge, die co-endlich Topologie ist die Topologie
bestehend aus allen Mengen U ⊂ X die endliches Komplement haben,
zusammen mit der leeren Menge.
Sei x ∈ X ein Punkt. Eine offene Umgebung von x ist eine offene Menge U, die x
enthält. Eine Umgebung von x ist eine Menge V ⊂ X, die eine offene Umgebung von x
enthält.
Lemma 1.0.2 Sei A eine Teilmenge des topologischen Raums X. Ein Punkt x ∈ X gehört
genau dann zum Abschluss A von A, wenn A ∩ U ∅ für jede Umgebung U von x gilt.
Beweis: Die Behauptung ist äquivalent dazu, dass x genau dann nicht in A liegt, wenn
es eine Umgebung U von x gibt mit U ∩ A = ∅. Wir können in diesem Fall U als offen
voraussetzen.
Is also U eine offene Umgebung von x mit A ∩ U = ∅, dann ist A eine Teilmenge der
abgeschlossenen Menge X U, also x Ā. Umgekehrt, nimm an x Ā. Dann ist
U = X Ā eine offene Umgebung von x mit A ∩ U = ∅.
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