Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 123
Satz 10.1.7 Sei V ein vollständiger lokalkonvexer Raum. Für eine messbare Funktion
f : X → V sind äquivalent:
• f ist integrabel.
• f ist wesentlich separabel und ∫ p( f ) dµ < ∞ für jede stetige Halbnorm p auf V.
X
Beweis: Ist f integrabel, dann ist nach Satz 10.1.2 (b) die Funktion p( f ) ebenfalls
integrabel. Wir müssen zeigen, dass f wesentlich separabel ist. Sei p eine stetige
Halbnorm. Für gegebenes n ∈ N gibt es eine einfache Funktion s n : X → V mit
∫
X p( f − s n) dµ < 1 n . Sei E p der p-Abschluss des Vektorraums aufgespannt von der
Vereinigung aller Bilder der s n , n ∈ N. Dann ist E p der p-Abschluss einer abzählbaren
Menge C p , z.B. man kann den Q(i)-Vektorraum nehmen, der von den Bildern aller s n
aufgespannt wird. Für jedes n ∈ N ist die Menge
N n =
{
x ∈ X : p( f (x), E p ) > 1 }
n
eine Nullmenge, wobei
p(v, E p ) = inf{p(v − e) : e ∈ E p }.
Das Komplement in X von f −1 (E p ) ist die Vereinigung aller N n , also eine Nullmenge,
damit ist f wesentlich separabel.
Für die umgekehrte Richtung nimm an, f ist wesentlich separabel und p( f ) integrabel
für jedes stetige Halbnorm p. Wir konstruieren zu jeder stetigen Halbnorm p eine
einfache Funktion s p mit ∫ X p( f − s p) dµ < 1. Dann ist f integrabel nach Lemma 10.1.1.
Um s p zu konstruieren, sei C p = {c 1 , c 2 , . . . } die abzählbare Menge und sei N p ⊂ X die
Nullmenge zu p. Schreibe X p = X N p . Für n ∈ N und δ > 0 sei A δ n die Menge aller
x ∈ X p so dass p( f (x)) > δ und p( f (x) − c n ) < δ. Wir machen diese Folge paarweise
disjunkt:
⋃
D δ n = A δ m A δ k .
Die Menge ⋃ ⋃
n A δ n = ·
n D δ n ist gleich f −1 ( f (X p ) δU p ). Da p( f ) integrabel ist, hat die
⋃
Menge · D
δ
n endliches Maß. Sei s p,n = ∑ n
c j . Dies ist eine einfache Funktion. Die
k