Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 54
gleich der Normtopologie. Hierzu reicht es, V = C n anzunehmen. Die
Koordinatenabbildungen v ↦→ v j für j = 1, . . . , n sind stetige lineare Funktionale,
also sind alle Mengen der Gestalt U 1 × · · · × U n schwach offen, wenn
U 1 , . . . , U n ⊂ C offene Mengen sind. Diese Mengen erzeugen allerdings die
Topologie von C n , die auch die Normtopologie ist.
• Wir werden später sehen, dass die schwache Topologie bei jedem
unendlich-dimensionalen reflexiven Banach-Raum echt verschieden ist von der
Normtopologie. Hier schon mal ein Beispiel. Sei V = l 2 (N) und sei
e n = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ) ∈ V mit der 1 an der n-ten Stelle. Dann gilt ||e n || = 1 für jedes
n ∈ N, aber wir zeigen, dass die Folge (e n ) schwach gegen 0 geht. Damit ist die
schwache Topologie echt verschieden von der Normtopologie. Um zu zeigen,
dass e n → 0 gilt, müssen wir zeigen, dass α(e n ) → 0 gilt für jedes α ∈ V ′ . Sei also
α ∈ V ′ . Dann gibt es nach dem Satz von Riesz genau ein w ∈ V mit α(v) = 〈v, w〉
für jedes v ∈ V. Insbesondere also α(e n ) = w n . Nun gilt aber ∑ ∞
j=1 |w j | 2 = ||w|| 2 < ∞,
also geht die Folge w j gegen Null, also geht α(e n ) gegen Null.
Erinnerung: Eine Abbildung f : X → V von einem topologischen Raum X nach V ist
genau dann stetig bezüglich der schwachen Topologie, wenn α ◦ f : X → K für jedes
α ∈ V ′ stetig ist.
Jede schwach offene Menge ist auch offen in der Norm-Topologie, aber nicht
umgekehrt, die Norm-Topologie hat also mehr offene Mengen.
Ist A ⊂ V, so bezeichnet wie bisher A den Abschluss in der Norm-Topologie. Den
Abschluss in der schwachen Topologie bezeichnen wir mit A w . Da die schwache
Topologie weniger offene Mengen hat als die Norm-Topologie, hat sie auch weniger
abgeschlossenen Mengen, also gilt immer
A w ⊃ A.
Satz 4.2.3 Sei K ⊂ V eine konvexe Teilmenge des Banach-Raums V. Dann ist der
schwache Abschluss gleich dem Norm-Abschluss, also
K w = K.