Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 45
Es folgt p(λv) = λp(v) für λ > 0. Die Funktion p nimmt endliche Werte an und da U
konvex ist, erfüllt p die Dreiecksungleichung, also es gilt
p(v + w) ≤ p(v) + p(w)
für alle v, w ∈ V. Da v 0 U, folgt p(v 0 ) ≥ 1. Auf dem eindimensionalen Raum Rv 0
definiere ein Funktional α(tv 0 ) = t. Nach Satz 3.1.3 setzt α zu einem Funktional auf V
fort mit −p(−v) ≤ α(v) ≤ p(v). Wir zeigen, dass α stetig ist. Da U offen ist und die Null
enthält, existiert ein r > 0 mit B r (0) ⊂ U. Das bedeutet: ||v|| < r ⇒ v ∈ U ⇒ p(v) < 1.
Ersetzt man v durch rv, so heisst das ||v|| < 1 ⇒ p(v) < 1 und im Grenzwert
r
||v|| ≤ 1 ⇒ p(v) ≤ 1 also insbesondere ||v|| = 1 ⇒ p(v) ≤ 1. Damit
r r
sup
||v||=1
|α(v)| ≤ sup p(v) ≤ 1
||v||=1 r .
Also ist α beschränkt, ergo stetig. Sind nun a ∈ A und b ∈ B, so folgt
α(a) − α(b) + 1 = α(a − b + v 0 ) ≤ p(a − b + v 0 ) < 1,
also α(a) < α(b) Die Bilder α(A) und α(B) sind konvexe Teilmengen von R, also
Intervalle. Da A offen ist, ist α(A) nach Lemma 3.1.5 ein offenes Intervall, damit folgt
(a).
(b) Beh.:Es gibt eine konvexe offene Nullumgebung U, so dass (A + U) ∩ B = ∅ gilt.
Beweis: Angenommen nicht. Sei B n der offene Ball B 1/n (0). Es gilt dann
(A + B n ) ∩ B ∅, also gibt es x n ∈ A + B n , etwa x n = a n + b n mit a n ∈ A und ||b n || < 1/n.
Da A kompakt ist, hat die Folge (a n ) eine konvergente Teilfolge, wir ersetzen sie durch
diese und nehmen an, dass (a n ) gegen ein a 0 in A konvergiert. Da b n → 0, folgt x n → a.
Nun ist aber x n ∈ B und B ist abgeschlossen, also a 0 ∈ A ∩ B, diese Menge war aber als
leer angenommen worden. Widerspruch!
Die Mengen A + U und B können nach Teil (a) durch ein stetiges Funktional α getrennt
werden, dann ist α(A + U) ein offenes Intervall disjunkt zum Intervall α(B). Ferner ist
α(A) ein kompaktes Intervall, das im offenen Intervall α(A + U) enthalten ist. □