Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 94
gilt
∑
||K|| 2 HS = 〈 〉 ∑ ∫
Kej , Ke j = Ke j (x)Ke j (x) dx
j
∑ ∫
=
j
∑ ∫
=
j
∫
=
∫
=
X
X
X
∫
j X
∫
k(x, y)e j (y) dy
X
X
〈
k(x, .), ej
〉 〈
ej , k(x, .) 〉 dx
∑ 〈 〉 〈
k(x, .), ej ej , k(x, .) 〉 dx
j
∫
〈k(x, .), k(x, .)〉 dx =
X
X X
k(x, y)e j (y) dy dx
∫
|k(x, y)| 2 dx dy.
□
7.3 Spurklasse-Operatoren
Definition 7.3.1 Sei T ein kompakter Operator. Nach Lemma 7.1.2 ist |T| = √ T ∗ T
ebenfalls kompakt. Sei s 1 (T) ≥ s 2 (T) ≥ . . . die (möglicherweise endliche) Folge der
nichtverschwindenden Eigenwerte des positiven Operators |T|, wobei jeder Eigenwert
nach Vielfachheit wiederholt auftritt. Die s j = s j (T) werden die singulären Werte von
T genannt.
Ein kompakter Operator heisst Spurklasse-Operator, wenn gilt
||T|| Sp
def
=
∑
s j (T) < ∞.
j
Die Zahl ||T|| Sp ∈ [0, ∞] heisst Spur-Norm von T. Jeder Spurklasse-Operator ist
Hilbert-Schmidt.
Satz 7.3.2 (a) Ist T von Spurklasse und S stetig, so sind die Normen ||ST|| Sp , ||TS|| Sp beide
≤ ||S|| ||T|| Sp .
(b) Für einen kompakten Operator T gilt
∑
||T|| Sp = sup | 〈Te i , h i 〉 |,
(e i ),(h i )
wobei das Supremum über alle ONBs (e i ) und (h i ) läuft.
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