Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 33
Da dies ≥ 0 ist, folgt ∑ i∈E |c i (v)| 2 ≤ ||v|| 2 . Also ∑ i∈I |c i (v)| 2 ≤ ||v|| 2 . Damit folgt, dass nur
abzählbar viele c i (v) ungleich Null sind und dass die Reihe der |c i (v)| 2 konvergiert. Wir
wollen zeigen, dass die Reihe ∑ i∈I c i (v)e i in jeder Reihenfolge konvergiert. Sei also
c 1 , c 2 , . . . eine Nummerierung der Koeffizienten 0, so gilt für n ≤ m in N,
∣ m∑ ∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣ 2 c i (v)e i =
∣
n=n
m∑
|c i (v)| 2 ,
woraus folgt, dass ∑ n
i=1 c i (v)e i eine Cauchy-Folge in H ist, also konvergiert. Wir zeigen,
dass der Limes gleich v ist. Für j ∈ I rechne
i=n
〈
∑
〉
e j , v − c i (v)e i = 〈 e j , v 〉 − c j (v) = 0.
i∈I
Also ist der Vektor v − ∑ i∈I c i (v)e i im Orthogonalraum des ONS, also gleich Null, die
Summe konvergiert also in der Tat gegen v. Insbesondere ist der von (e i ) aufgespannte
Unterraum dicht. Es folgt
〈 ∑
〈v, w〉 =
i∈I
∑
〉
∑ ∑
c i (v)e i , c i (w)e i = c i (v)c j (w) 〈 〉 ∑
e i , e j = c i (v)c j (w).
i∈I
i∈I j∈I
i∈I
Ist umgekehrt v = ∑ j∈I c j e j konvergent, so gilt wegen der Linearität und Stetigkeit des
Skalarproduktes,
〈 ∑
c i (v) = 〈v, e i 〉 =
j∈I
〉
∑ 〈 〉
c i e i , e j = c i ei , e j = ci .
j∈I
Ist schliesslich (c i ) i∈I eine Familie von Koeffizienten mit ∑ i∈I |c i | 2 < ∞, so folgt die
Konvergenz von ∑ i c i e i genau wie die oben gezeigte Konvergenz von ∑ i c i (v)e i .
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Beispiel 2.3.12 In Analysis 1 wurde in dem Abschnitt über Fourier-Reihen gezeigt,
dass die Funktionen e k (x) = e 2πikx für k ∈ Z eine Orthonormalbasis von
L 2 ([0, 1]) L 2 ([0, 1)) L 2 (R/Z) ist.
Satz 2.3.13 Je zwei ONB eines Hilbert-Raumes haben die gleiche Mächtigkeit. Zwei
Hilbert-Räume sind isometrisch-isomorph, falls sie ONBs der gleichen Mächtigkeit haben.