Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 113
wie p α (v i − v) < ε. Also konvergiert p α (v i − v) gegen Null. Für die Rückrichtung lässt
sich dieser Schluss umkehren.
(b) Sei (p α ) α∈A eine Familie von Halbnormen auf V. Wir versehen V mit der durch die
p α induzierten Topologie und zeigen, dass die Addition auf V stetig ist. Seien hierzu
v i → V und w i → w konvergente Netze. Dies bedeutet, dass für jedes α ∈ A die Netze
p α (v i − v) und p α (w i − w) gegen Null gehen. Dann folgt
p α (v i + w i − (v + w)) ≤ p α (v i − v) + p α (w i − w) → 0.
Also konvergiert v i + w i gegen v + w und die Addition ist also stetig. Die
Skalarmultiplikation ist aus ähnlichen Gründen stetig. Wir zeigen, dass die Menge {0}
genau dann abgeschlossen ist, wenn die Familie von Halbnormen definit ist. Liegt v
im Abschluss der Null, dann geht das konstante Netz 0 gegen v, also ist p α (v) = 0 für
jedes α. Umgekehrt impliziert aber p α (v) = 0 für jedes α auch, dass v im Abschluss der
Null liegt.
(c) Sei V lokalkonvex. Zu jeder offenen konvexen ausgewogenen Nullumgebung E
gibt uns Proposition 9.2.6 eine Halbnorm p E . Es gilt dann
B(p E ) = E.
Ferner ist für v ∈ V und r > 0,
B r (v, p E ) = v + rE,
also ist der Ball B r (v, p E ) offen. Die von der Halbnormen p E erzeugte Topologie liegt
also in der Ursprungs-Topologie von V. Da andererseits die E eine
Nullumgebungsbasis bilden, wird die Topologie von V von allen Mengen der Form
v + rE erzeugt.
Die Umkehrung ist klar.
(d) Sei die Topologie von V durch (p α ) α∈A erzeugt und sei α ∈ A. Sei v i → v ein
konvergentes Netz in V, dann folgt
|p α (v i ) − p α (v)| ≤ p α (v i − v) → 0.
Also ist p α stetig. Der Zusatz ist klar.
(e) folgt aus (a) und der Beobachtung, dann mit p auch Tp eine stetige Halbnorm ist,
wenn T > 0.
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