Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 23
Nach Lemma 1.9.10 liegt f y in A und nach Konstruktion ist h(z) − f y (z) < ε für jedes
z ∈ X, denn für z ∈ U xj gilt h(z) < g xj ,y(z) + ε ≤ f y (z) + ε.
Für y ∈ X sei
V y = {z ∈ X : f y (z) < h(z) + ε}.
Da f y (y) = h(y), ist dies eine offene Umgebung von y, und wie oben zeigen wir, dass es
y 1 , . . . , y k ∈ X gibt mit X ⊂ ⋃ k
j=1 V yj . Sei
f = min( f y1 , . . . , f yk ).
Dann ist f ∈ A und man sieht leicht, dass f (z) − ε < h(z) < f (z) + ε für jedes z ∈ X.
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Beispiel 1.9.11 Der komplexe Vektorraum der Laurent-Polynome, also aller
Funktionen der Form
n∑
f (z) = c j z j
liegt dicht im Raum aller stetigen Funktionen auf T = {z ∈ C : |z| = 1}. Wohlgemerkt,
die gleichmässige Konvergenz der Fourier-Reihe haben wir nur für stückweise glatte
Funktionen.
j=−n
1.10 Der Satz von Baire
Eine Teilmenge D eines topologischen Raums X heisst dicht in X, falls X der
Abschluss D von D ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn U ∩ D ∅ für jede offene
Teilmenge U ⊂ X gilt.
Definition 1.10.1 Ein topologischer Raum X heisst Baire-Raum oder von zweiter
Kategorie, falls für jede abzählbare Familie (U n ) n∈N offener dichter Teilmengen von X
der Schnitt D = ∩ n∈N U n wieder eine dichte Teilmenge ist.
Proposition 1.10.2 (a) Ist X ein Baire-Raum, so ist jede offene Teilmenge U wieder ein
Baire-Raum.
(b) Ist X ein Baire-Raum, so existiert für jede abzählbare Familie (A n ) n∈N abgeschlossener
Mengen mit X = ∪ n∈N A n schon ein Index n 0 , so dass A n0 eine nichtleere offene Menge
enthält.