Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 107
mit einer Faktorisierung
J
ϕ
I
so dass die Abbildung ϕ streng cofinal ist.
β
α
X
Mit anderen Worten, Teilnetze werden gegeben durch streng cofinale Abbildungen in
die Indexmenge I.
Konvergiert α gegen x ∈ X, dann konvergiert jedes Teilnetz ebenfalls gegen x ∈ X.
Proposition 9.1.6 Sei X ein topologischer Raum und sei A ⊂ X. Der Abschluss Ā ist gleich
der Menge aller Limiten von Netzen in A.
Mit anderen Worten, ein Punkt x ∈ X liegt genau dann in Ā , wenn es ein Netz (α i ) i∈I gibt mit
α i ∈ A, fuer alle i ∈ I, welches in X gegen x konvergiert.
Beweis: Der Abschluss Ā ist die Menge aller x ∈ X so dass A ∩ U ∅ fuer jede
Umgebung von x gilt. Sei also x ∈ Ā und U eine Umgebung von x. Dann ist A ∩ U
nichtleer. Wähle ein Element α U in A ∩ U. Sei I die Menge aller Umgebungen U von x.
Versieh I mit der partiellen Ordnung:
U ≤ U ′ ⇔ U ⊃ U ′ .
Dann ist der Schnitt zweier Umgebungen eine obere Schranke fuer beide, also ist die
Menge I gerichtet. Das Netz (α U ) U∈I konvergiert nach Konstruktion gegen x.
Fuer die andere Richtung sei x ∈ X und α i ∈ A, i ∈ I ein Netz, das gegen x konvergiert.
Sei U eine Umgebung von x. Dann existiert ein i ∈ I mit α i ∈ U, also ist U ∩ A ∅. Da
U beliebig ist, folgt x ∈ Ā.
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Proposition 9.1.7 Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen ist genau
dann stetig, wenn fuer jedes Netz (x j ) in X, das konvergiert, das Bildnetz f (x j ) ebenfalls
konvergiert. In diesem Falle gilt: konvergiert x j gegen x, so konvergiert f (x j ) gegen f (x).
Beweis: Der folgende Beweis ist fast wörtlich derselbe wie fuer Folgen in R. Sei f
stetig und sei (x i ) i∈I ein gegen x ∈ X konvergentes Netz. Wir müssen zeigen
f (x i ) → f (x). Sei hierzu U eine offene Umgebung von f (x), dann ist V = f −1 (U) eine