Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 99
8 Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren
8.1 Spektralmaße
Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und A die Borel-σ-Algebra auf X und sei H
ein Hilbert-Raum. Ein Spektralmaß ist ein Abbildung µ : A → B(H) mit folgenden
Eigenschaften:
(a) µ(∅) = 0 und µ(X) = Id.
(b) Jedes µ(A) ist eine Orthogonalprojektion.
(c) µ(A ∩ B) = µ(A)µ(B).
(d) Ist A ∩ B = ∅, dann gilt µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).
(e) Für all v, w ∈ H ist die Funktion
µ v,w (A) = 〈 µ(A)v, w 〉
ein C-wertiges Radon-Maß auf Ω.
Erste Eigenschaften
• Für jedes v ∈ H gilt
µ v,v (A) = 〈 µ(A)v, v 〉 = 〈 µ(A)v, µ(A)v 〉 = ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣µ(A)v
∣ ∣∣
∣ ∣∣ 2
,
so dass µ v,v ein positives Radon-Maß ist mit
µ v,v (Ω) = ||v|| 2 .
• Je zwei Projektionen µ(A) und µ(B) kommutieren miteinander.
• Ist A ∩ B = ∅, so stehen die Bilder von µ(A) und µ(B) senkrecht aufeinander, d.h.
es gilt µ(A)µ(B) = 0.
Beispiele 8.1.1
• Sei T : H → H ein selbstadjungierter Operator auf dem
endlich-dimensionalen Hilbert-Raum H. Auf der Borel-σ-Algebra von C