Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 124
nach dem Satz über dominierte Konvergenz ist
∫
p( f − s p,n ) dµ → 0.
X
Insbesondere existiert ein n 0 ∈ N, so dass für s p = s p,n0 gilt ∫ X p( f − s p) dµ < 1.
□
Korollar 10.1.8 Sei V ein vollständiger, lokalkonvexer topologischer Vektorraum. Sei X ein
lokalkompakter Raum und µ ein Radon-Maß auf X. Dann ist jede stetige Funktion f : X → V
mit kompaktem Träger integrabel.
Beweis: Sei K ⊂ X der Träger von f . Dann ist das Bild von f gleich f (K) oder gleich
f (K) ∪ {0}. In jedem Fall ist das Bild kompakt.
Sei p eine stetige Halbnorm auf V und sei V p der normierte Raum V/{0}. Sei
π : V → V p die Projektion. Dann ist die induzierte Funktion f p : X → V p stetig und hat
kompaktes Bild, ist
(
also separabel. Sei C p ⊂ V abzählbar, so dass
π( f (X)) ⊂ π(C) = π C (p)) . Es folgt f (X) ⊂ C (p) , so dass f wesentlich separabel ist.
Die C-wertige Funktion p( f ) ist ebenfalls stetig und hat kompakten Träger, ist also
integrabel. Damit folgt die Behauptung aus Satz 10.1.7.
□
10.2 Faltung
Satz 10.2.1 Seien f, g ∈ L 1 (R n ). Dann existiert das Integral
∫
f ∗ g(x) =
R n
f (y)g(x − y)dy
fast überall in x ∈ R n und definiert eine Funktion f ∗ g ∈ L 1 (R n ) mit
Für f, g, h ∈ L 1 (R n ) gilt:
∣ ∣ ∣ ∣ f ∗ g
∣ ∣∣
∣ ∣∣1
≤ ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ f
∣ ∣∣
∣ ∣∣1
∣ ∣∣
∣ ∣∣g
∣ ∣∣
∣ ∣∣1
.
f ∗ g = g ∗ f, f ∗ (g ∗ h) = ( f ∗ g) ∗ h, und f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h.
Man nennt f ∗ g das Faltungsprodukt von f und g.