Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 106
In dem Fall einer Folge, also I = N, stimmt dies mit der Definition der Konvergenz
einer Folge überein.
A priori kann ein Netz gegen mehrere Punkte konvergieren. Der Extremfall ist die
triviale Topologie in der jedes netz gegen jeden Punkt konvergiert. Die Eindeutigkeit
der Limiten ist äquivalent zur Hausdorff-Eigenschaft.
Proposition 9.1.4 Ein topologischer Raum X ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn
Limiten eindeutig sind, d.h., wenn jedes Netz höchstens einen Grenzwert hat.
Beweis: Sei X hausdorffsch und sei (x i ) ein konvergentes Netz. Nimm an, es
konvergiert gegen x und y mit x y. Wegen der Hausdorff-Eigenschaft gibt es offene
Mengen U ∋ x und V ∋ y so dass U ∩ V = ∅. Da (x i ) gegen x und y konvergiert, gibt es
einen Index i so dass x i ∈ U und x i ∈ V, ein Widerspruch!Also ist der Limes eines
Netzes in der Tat eindeutig bestimmt.
Fuer die Rückrichtung nimm an, dass Limiten eindeutig sind. Wir zeigen, dass der
Raum hausdorffsch ist. Seien also x y in X. Sei S die Menge aller Paare (U, V) so dass
U, V offene Teilmengen von X sind mit U ∋ x und V ∋ y. Die Menge S wird partiell
geordnet durch umgekehrte Inklusion, d.h.,
(U, V) ≤ (U ′ , V ′ ) ⇔ U ⊃ U ′ und V ⊃ V ′ .
Die Menge S ist gerichtet, da man Schnitte nehmen kann. Wir zeigen die
Hausdorff-Eigenschaft durch Widerspruch, indem wir also annehmen, dass
U ∩ V ∅ fuer jedes (U, V) ∈ S. Fuer jedes (U, V) ∈ S wähle ein Element z UV in U ∩ V.
Dann ist z UV ein Netz mit Indexmenge S. Da z UV sowohl in U als auch in V liegt,
konvergiert dieses Netz gegen x und gegen y. Wegen der Eindeutigkeit der Limiten ist
x = y, ein Widerspruch!
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Eine Abbildung ϕ : J → I zwischen zwei gerichteten Mengen heisst streng cofinal,
falls es zu jedem i 0 ∈ I ein j 0 ∈ J gibt, so dass fuer jedes j ≥ j 0 gilt ϕ(j) ≥ i 0 . Das
bedeutet, dass die Abbildung ϕ nicht monoton zu sein braucht, sie kann vor und
zurückspringen, aber sie soll ”im Wesentlichen” monoton sein und die Zielmenge I
”ausschöpfen”.
Definition 9.1.5 Sei α : I → X ein Netz. EinTeilnetz ist ein Netz β : J → X zusammen