Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 116
Proposition 9.2.11 (a) Seien (V, (p i ) i∈I ) und (W, (q j ) j∈J ) Vektorräume mit definiten Familien
von Halbnormen. Dann ist eine lineare Abbildung T : V → W genau dann stetig, wenn
es zu jedem j ∈ J eine endliche Teilmenge E ⊂ I gibt, sowie eine Konstante C > 0, so dass
q j (T(v)) ≤ C ∑ i∈E p i (v) für jeden Vektor v ∈ V gilt.
(b) Eine lineare Abbildung T : V → W zwischen lokalkonvexen Räumen ist genau dann
stetig, wenn es zu jeder stetigen Halbnorm q auf W eine stetige Halbnorm p auf V gibt mit
q(T(v)) ≤ p(v) ∀ v∈V .
Beweis: (a) Wie im Fall von normierten Räumen ist eine lineare Abbildung T genau
dann stetig, wenn sie stetig in Null ist. Ein Netz (v α ) geht genau dann gegen Null in V,
wenn für jedes i ∈ I das reellwertige Netz p i (v α ) gegen Null geht.
Sei also T stetig und sei j ∈ J. Angenommen, es gibt kein i ∈ I und C > 0 wie oben,
dann gibt es zu jeder endlichen Teilmenge E ⊂ I und zu jedem k ∈ N ein v = v E,k ∈ V
so dass q j (T(v)) > k ∑ i∈E p i (v) gilt. Nach Multiplikation mit einem Skalar können wir
hierbei q j (T(v)) = 1 annehmen. Die Menge aller Paare (E, k) ist gerichtet durch
(E, k) ≤ (E ′ , k ′ ) ⇔ E ⊂ E ′ und k ≤ k ′ .
Wir erhalten ein Netz (v E,k ) (E,k) in V. Wir behaupten, dass dieses Netz gegen Null geht,
also dass p j (v E,k ) für jedes j ∈ J gegen Null geht. Sei hierzu ε > 0, dann existiert ein k 0
so dass für alle k ≥ k 0 gilt 1 k < ε. Ist dann (E, k) ≥ ({j 0}, k 0 ), dann folgt
∑
p j (v E,k ) < p i (v E,k ) < 1 k < ε,
i∈E
also konvergiert das Netz gegen Null. Da T stetig ist, folgt T(v E,k ) → 0, was aber der
Tatsache q j (T(v E,k )) = 1 widerspricht!
Sei umgekehrt die Bedingung des Lemmas erfüllt. Wir wollen zeigen, dass T stetig ist.
Sei hierzu v α ein gegen Null konvergentes Netz. Ist j ∈ J, so gilt wie oben
q j (T(v α )) ≤ C ∑ i∈E p i (v α ). Die rechte Seite geht gegen Null für α → ∞, also auch die
linke, also geht v α gegen Null.
(b) folgt aus (a), da C ∑ i∈E p i wieder eine stetige Halbnorm ist.
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