Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 60
Operator T ∗ gegeben ist durch den Kern
k
k ∗ (i, j) = k(j, i).
Zum Beweis rechnen wir für ϕ, ψ ∈ l 2 (N),
〈 ϕ, Tk ∗ψ 〉 =
=
=
∞∑
∞∑ ∞∑
ϕ(i)T k ∗ψ(i) = ϕ(i) k ∗ (i, j)ψ(j)
i=1
∞∑
ϕ(i)
i=1
i=1
∞∑
k(j, i)ψ(j) =
j=1
∞∑
j=1
j=1 i=1
∞∑
T k ϕ(j)ψ(j) = 〈 T k ϕ, ψ 〉 .
j=1
∞∑
k(j, i)ϕ(i)ψ(j)
5.2 Isometrien
Definition 5.2.1 Der Operator T auf einem Hilbert-Raum heisst unitär, falls
TT ∗ = T ∗ T = Id
gilt.
Satz 5.2.2 Der Operator T : H → H ist genau dann unitär, wenn er ein isometrischer
Isomorphismus ist.
Beweis: Ist T unitär, dann ist er isometrisch, denn es gilt dann
〈Tv, Tw〉 = 〈T ∗ Tv, w〉 = 〈v, w〉 .
Er ist ferner surjektiv, da invertierbar.
Sei nun T isometrisch und surjektiv. Da T isometrisch ist, ist T injektiv, also zusammen
bijektiv. Für v, w ∈ H gilt
〈v, w〉 = 〈Tv, Tw〉 = 〈T ∗ Tv, w〉 .
Also folgt T ∗ T = Id, damit ist T ∗ eine Linksinverse zu T. Da T invertierbar ist, ist T ∗