Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 133
Nullfunktionen. Für jedes 1 ≤ p ≤ ∞ gilt
L p (R n ) ⊂ L 1 lok (Rn )
und die Abbildung L 1 lok (Rn ) → C ∞ c (R n ) ′ die φ auf I φ abbildet, ist injektiv.
Insbesondere kann also jeder L p -Raum als Teilraum des Distributionenraums aufgefasst
werden.
Beweis: Sei φ ∈ L p (R n ) bzw. in L p (R n ) und sei zunächst p < ∞. Sei A ⊂ R n die Menge
aller x ∈ R n mit |φ(x)| ≤ 1, sowie B = R n A. Für jedes Kompaktum K ist
∫
A∩K |φ(x)| dx < ∞ und ∫ B∩K |φ(x)| dx ≤ ∫ B∩K |φ(x)|p dx < ∞, also ist φ lokal integrierbar.
Der Fall p = ∞ ist ohnehin klar.
Sei nun φ ∈ L 1 lok (R) mit I φ = 0. Sei K ⊂ R n ein Kompaktum und f j eine Folge in C ∞ c (R n )
mit f j ≥ f j+1 ≥ 1 K , die punktweise gegen 1 K konvergiert. Es folgt
∫
K
φ(x) dx = lim
j
∫
R
f j (x)φ(x) dx = 0.
Also enthält das System A aller Lebesgue-messbaren A ⊂ R n für die gilt ∫ φ(x) dx = 0
A
alle kompakten Teilmengen. Das Mengensystem A ist eine σ-Algebra. Da die
kompakten Teilmengen und die Teilmengen von Nullmengen die Lebesgue-σ-Algebra
erzeugen, ist A gleich der Lebesgue-σ-Algebra. Sei nun A ⊂ R n die Teilmenge aller x
mit Re φ(x) > 0. Dann ist 0 = Re ∫ φ(x) dx = ∫ Re φ(x) dx. Dasselbe gilt für die Menge
A A
aller x mit Re φ(x) < 0. Es folgt, dass Re φ eine Nullfunktion ist. Analog für Im φ. □
11.2 Träger einer Distribution
Sei T eine Distribution. Für x ∈ R n sagen wir T(x) = 0, falls es eine Umgebung U von x
gibt mit T(C ∞ c (U)) = 0. Der Träger der Distribution T, geschrieben supp(T), ist die
Menge aller x ∈ R mit T(x) 0.
Beispiel 11.2.1 Sei φ eine stetige Funktion auf R. Dann gilt
supp(I φ ) = supp(φ) = {x ∈ R : φ(x) 0}.
Sei C ∞ (R n ) ′ die Menge der stetigen linearen Abbildungen L : C ∞ (R n ) → C.