Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 87
Ungleichung ist C ≤ ||T||. Andererseits für v, w ∈ H mit ||v|| , ||w|| ≤ 1 ist
C ≥ 1 2 C(||v||2 + ||w|| 2 ) = 1 4 C(||v + w||2 + ||v − w|| 2 )
≥ 1 | 〈T(v + w), v + w〉 | + | 〈T(v − w), v − w〉 | (Definition von C)
4
≥ 1 | 〈T(v + w), v + w〉 − 〈T(v − w), v − w〉 |
4
= 1 2 | 〈Tv, w〉 + 〈Tw, v〉 | = 1 | 〈Tv, w〉 + 〈w, Tv〉 |
2
= | Re 〈Tv, w〉 |.
Indem wir v durch θv für ein θ ∈ C mit |θ| = 1 ersetzen, erhalten wir C ≥ | 〈Tv, w〉 |für
alle ||v|| , ||w|| ≤ 1 und also C ≥ ||T|| nach Teil (a).
□
Wir setzen den Beweis fort, dass ein kompakter selbstadjungierter Operator T 0
einen Eigenwert λ 0 besitzt. Wir zeigen sogar, dass ‖T‖ oder −‖T‖ ein Eigenwert ist.
Nach dem Lemma existiert eine Folge (v j ) j in H mit ∣ ∣ ∣∣vj
∣ ∣∣ ∣ ∣∣ ∣∣∣ 〈 〉∣ ∣∣∣ = 1 und ||T|| = limj Tvj , v j .
Da T kompakt ist, hat Tv j eine normkonvergente Teilfolge. Wir gehen zu dieser über
und nehmen an, dass Tv j → u in der Norm konvergiert. Sei A j der schwache
Abschluss von {v i : i ≥ j} in H. Da die Einheitskugel schwach kompakt ist, und die
Familie (A j ) die endliche Schnitteigenschaft hat, gibt es ein v, das in allen A j liegt.
Dann liegt Tv in allen TA j . Da die Folge Tv j in der Norm gegen u konvergiert,
konvergiert sie auch schwach gegen u und damit folgt Tv = u. Indem wir ggf T durch
−T ersetzen, nehmen wir an 〈Tv, v〉 = ||T||. Es folgt
||Tv − ||T|| v|| 2 = ||Tv|| 2 − 2 Re 〈Tv, ||T|| v〉 + ||T|| 2 ||v|| 2
= ||T|| 2 − 2 ||T|| 2 + ||T|| 2 = 0.
Wir haben also Tv = ||T|| v.
Insgesamt haben wir jetzt gezeigt, dass jeder kompakte normale Operator T 0 einen
Eigenwert λ 0 hat. Sei U ⊂ V der Abschluss der Summe aller Eigenräume von T, die
Eigenwerte 0 haben. Nach Satz 5.4.3 ist jeder Eigenvektor von T auch ein
Eigenvektor von T ∗ . also ist U stabil unter T und T ∗ . Das orthogonale Komplement U ⊥
ist dann ebenfalls stabil unter T und T ∗ . Der Operator T induziert einen kompakten
normalen Operator auf U ⊥ . Dieser kann keinen Eigenwert 0 haben, muss also der
Nulloperator sein. Also ist U ⊥ der Kern von T. Wir haben damit gezeigt, dass H die
direkte Summe von T-Eigenräumen ist.