Funktionalanalysis - Mathematik

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FUNKTIONALANALYSIS 138 Proposition 11.4.2 Die Menge der Testfunktionen C ∞ c (R n ) ist dicht in S. Also ist die Restriktionsabbildung S ′ → C ∞ c (R n ) ′ , T ↦→ T| C ∞ c (R n ), injektiv. Wir können also den Raum der temperierten Distributionen als einen Teilraum des Raums der Distributionen auffassen. Die Inklusionskette C ∞ c (R n ) ⊂ S ⊂ C ∞ (R n ) dualisiert sich damit zu C ∞ (R n ) ′ ⊂ S ′ ⊂ C ∞ c (R n ) ′ . Beweis: Sei η : R n → [0, 1] eine glatte Funktion mit η(x) = 1 für x ≤ 0 und η(x) = 0 für x ≥ 1. Für j ∈ N setze χ j (x) def = η(|x| − j). Die Funktion χ j ist glatt, hat kompakten Träger und es gilt χ j (x) = 1 für |x| ≤ j. Setze f j (x) = χ j (x) f (x). Dann liegt f j in C ∞ c (R n ) und die Folge f j konvergiert in S gegen f , wie man leicht sieht. Also T( f ) = lim j T( f j ) = 0. Eine lokal integrierbare Funktion φ. Dann ist unter gewissen Bedingungen die Distribution I φ temperiert. Lemma 11.4.3 Sei φ eine lokal integrierbare Funktion auf R und nimm an, dass ein k ∈ N existiert mit ∫ 1 |φ(x)| dx < ∞. R 1 + x n 2k Dann konvergiert das Integral I φ ( f ) = ∫ R n φ(x) f (x) dx für jedes f ∈ S und definiert eine temperierte Distribution f ↦→ I φ ( f ). Beweis: Die Konvergenz ist klar, so dass I φ eine lineare Abbildung S → C definiert. Wir müssen zeigen, dass diese stetig ist. Sei k wie im Lemma und sei C = ∫ 1 |φ(x)| dx. Wir können C > 0 annehmen. Die Folge ( f R n 1+x 2k j ) konvergiere gegen f in S. Sei ε > 0. Dann existiert ein j 0 so dass für j ≥ j 0 gilt sup x∈R | f j (x) − f (x)| < Für j ≥ j 0 folgt ε . C(1+x 2k ) ∫ |I φ ( f j ) − I φ ( f )| ≤ |φ(x)| | f j (x) − f (x)| dx R n < ε ∫ |φ(x)| dx = ε. □ C 1 + x2k R n □
FUNKTIONALANALYSIS 139 Proposition 11.4.4 Ist φ ∈ L 2 (R), dann ist die Distribution I φ temperiert. Wir erhalten eine kanonische Einbettung L 2 (R) ↩→ S ′ . Beweis: Klar nach dem letzten Lemma. □
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Funktionalanalysis Anton Deitmar WS
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FUNKTIONALANALYSIS 3 1 Allgemeine T
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FUNKTIONALANALYSIS 5 □ Definition
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FUNKTIONALANALYSIS 7 1.3 Initial- u
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FUNKTIONALANALYSIS 9 Mengen U, V
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FUNKTIONALANALYSIS 11 C, also gibt
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FUNKTIONALANALYSIS 13 Beweis: Sei L
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FUNKTIONALANALYSIS 15 Schnitteigens
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FUNKTIONALANALYSIS 17 1.9 Der Satz
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FUNKTIONALANALYSIS 19 (hier wird di
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FUNKTIONALANALYSIS 21 Beweis: Sei
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FUNKTIONALANALYSIS 23 Nach Lemma 1.
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FUNKTIONALANALYSIS 25 2 Normierte R
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FUNKTIONALANALYSIS 27 2.2 Stetige l
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FUNKTIONALANALYSIS 29 Definition 2.
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FUNKTIONALANALYSIS 31 Korollar 2.3.
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FUNKTIONALANALYSIS 33 Da dies ≥ 0
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FUNKTIONALANALYSIS 35 (b) Sei α :
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FUNKTIONALANALYSIS 37 Cauchy-Folgen
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FUNKTIONALANALYSIS 39 das heisst, d
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FUNKTIONALANALYSIS 41 3 Grundprinzi
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FUNKTIONALANALYSIS 43 und ebenso ˜
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FUNKTIONALANALYSIS 45 Es folgt p(λ
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FUNKTIONALANALYSIS 47 konvergiert a
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FUNKTIONALANALYSIS 49 4 Schwache To
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FUNKTIONALANALYSIS 51 Sei also (v j
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FUNKTIONALANALYSIS 53 Banach-Raum a
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FUNKTIONALANALYSIS 55 Beweis: Die I
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FUNKTIONALANALYSIS 57 Beweis: Sei W
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FUNKTIONALANALYSIS 59 Funktional α
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FUNKTIONALANALYSIS 63 Daher ist P s
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FUNKTIONALANALYSIS 65 Zerlege ein g
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FUNKTIONALANALYSIS 67 also bijektiv
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