Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 70
enthält. Genauer zeigen wir B 1 (Id) ⊂ B(H) × . Der Einfachheit halber schreiben wir
Id = 1. Es ist
B 1 (1) = {T : ||T − 1|| < 1} = {1 − R : ||R|| < 1}.
Sei also R ∈ B(H) mit ||R|| < 1. Wir müssen zeigen, dass 1 − R invertierbar ist. Die Reihe
∑ ∞
n=0 ||R|| n konvergiert in C. Also konvergiert die geometrische Reihe
S =
∞∑
n=0
R n
absolut in B(H). Es ist
∞∑
(1 − R)S = S(1 − R) = (1 − R) R n =
n=0
∞∑
R n −
n=0
∞∑
R n+1 = 1.
n=0
Ist nun U ∈ B(H) × beliebig, dann ist UB 1 (1) eine offene Umgebung von U, die ganz in
B(H) × liegt, denn es ist
Also ist B(H) × offen.
UB 1 (1) = {U − UR : ||R|| < 1} ⊃ {U − Z : ||Z|| < 1
||U −1 || } = B 1/||U −1 || (U).
Nun zur Stetigkeit der Inversion: Wir zeigen, dass die Inversion die Menge B 1 (1) in
sich wirft und dort stetig ist. Hieraus folgt die Behauptung, denn auf der offenen
Menge B 1 (1)T 0 ist die Inversion eine Komposition stetiger Abbildungen:
T ↦→ TT 1 0 ↦→ T 0T −1 ↦→ T −1 .
Es reicht also zu zeigen, dass die Inversion auf B 1 (1) stetig ist. Seien hierzu S, T ∈ B(H)
mit ||S|| ||T|| < c < 1. Dann folgt für n ∈ N,
∣
||S n − T n ∑n−1
∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣ ∑n−1
|| =
∣ (S − T) S k T n−1−k ≤ ||S − T|| ||S|| k ||T|| n−1−k
k=0
∑n−1
≤ ||S − T|| c n−1 = ||S − T|| nc n−1
k=0
k=0