Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 7
1.3 Initial- und Final-Topologien
Sei X eine Menge und f i : X → Y i eine Familie von Abbildungen, wobei die Y i
topologische Räume sind. Die Initialtopologie auf X induziert durch die Familie ( f i ) i∈I
ist die kleinste Topologie auf X, so dass alle f i stetig sind. Also ist es die Topologie, die
durch alle Urbilder f −1 (U) offener Mengen U ⊂ Y
i
i erzeugt wird.
Sei X eine Menge und sei g i : W i → X, i ∈ I eine Familie von Abbildungen von
topologischen Räumen W i . Die Final-Topologie auf X induziert durch die Familie
(g i ) i∈I ist die grösste Topologie auf X, bezüglich der alle g i stetig sind. Eine Teilmenge
U ⊂ X ist genau dann offen, wenn jedes Urbild g −1 (U) ⊂ W
i
i offen ist. Ein Spezialfall
der Finaltopologie ist die Quotiententopologie auf Z/ ∼, wobei Z ein topologischer
Raum ist und ∼ eine Äquivalenzrelation. Die Quotiententopologie ist dann die
Finaltopologie gegeben durch eine einzige Abbildung, nämlich der Projektion
Z → Z/ ∼.
Beispiele 1.3.1
• Sei A ⊂ X eine Teilmenge des topologischen Raums X. Die
Topologie auf A induziert durch die Inklusionsabbildung i : A ↩→ X heisst die
Teilraumtopologie von A. Die offenen Mengen in A sind genau die Mengen der
Form A ∩ U, wobei U ⊂ X offen ist.
• Sei (X i ) i∈I eine Familie topologischer Räume. Sei X = ∏ i∈I X i das kartesische
Produkt der Räume X i . Die Produkttopologie auf X ist die Initial-Topologie der
Koordinaten-Projektionen p i : X → X i . Sie wird also erzeugt von allen Mengen
der Form
∏
U i × X j ,
wobei U i ⊂ X i eine offene Menge ist. Nach Lemma 1.1.1 ist jede offene Menge in
X eine Vereinigung von Mengen der Gestalt
ij
⎛ ⎛
∏ ∏
⎜⎝ U i
⎞⎟ ⎠ × ⎜⎝
X i
⎞⎟ ⎠
,
wobei E ⊂ I eine endliche Teilmenge der Indexmenge I ist.
i∈E
Als Spezialfall sehen wir, dass die Topologie auf R n genau die Produkttopologie
von R ist.
• Der Raum C c (R n ) wird mit der sogenannten induktiven Limestopologie
versehen, die wie folgt entsteht: Für eine kompakte Teilmenge K ⊂ R n sei C K (R n )
iE