Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 102
Dieses Maß nimmt wegen µ v,v (σ(T)) = ||v|| 2 < ∞ nur endliche Werte an. Aus den
Polarisierungsidentitäten erhält man dann komplexwertige Maße µ v,w , durch
µ v,w = 1 [ ]
µv+w − µ v−w + iµ v+iw − iµ v−iw ,
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wobei wir abkürzend µ v für µ v,v geschrieben haben. Für die Totalvariation |µ v,w | gilt
|µ v,w | ≤ 1 [ ]
µv+w + µ v−w + µ v+iw + µ v−iw .
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Auf Grund der Polarisierungsidentitäten folgt 〈 f (T)v, w 〉 = ∫ σ(T) f (t) dµ v,w(t) für alle
v, w ∈ H und jedes f ∈ C(σ(T)). Ist f reellwertig, so gilt 〈 f (T)v, w 〉 = 〈 f (T)w, v 〉 und
daher folgt µ w,v = µ v,w .
Ist f nur messbar und beschränkt, etwa | f | ≤ C macht die rechte Seite der Gleichung
immer noch Sinn. Wir behaupten, dass die lineare Abbildung w ↦→ ∫ σ(T) f (t) dµ v,w(t)
stetig ist. Hierzu seien ||w|| = ||v|| = 1. Dann gilt
∫
∣
σ(T)
f (t) dµ v,w (t)
∣
∫σ(T)
≤ | f (t)| d|µ v,w |(t)
≤ 1 ∫
4
≤ 1 ∫
4
| f (t)| d [ ]
µ v+w + µ v−w + µ v+iw + µ v−iw
σ(T)
C d [ ]
µ v+w + µ v−w + µ v+iw + µ v−iw
σ(T)
= C 4
(〈v + w, v + w〉 + 〈v − w, v − w〉 + 〈v + iw, v + iw〉 + 〈v − iw, v − iw〉)
= C(||v|| 2 + ||w|| 2 ) = 2C.
Also ist diese lineare Abbildung stetig. Daher existiert genau ein Vektor φ( f )v so dass
〈 〉
∫
φ( f )v, w = f (t) dµ v,w (t)
für alle w gilt. Nach der obigen Rechnung ist für ||v|| = ||w|| = 1 schon | 〈 φ( f )v, w 〉 | ≤ 2C,
also gilt für beliebige v, w:
| 〈 φ( f )v, w 〉 | ≤ 2C ||v|| ||w|| .
Die Abbildung v ↦→ φ( f )v ist schnell als linear erkannt. Sie ist auch stetig, denn für
σ(T)