Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 35
(b) Sei α : H → K ein stetiges lineares Funktional. Ist α = 0, so wähle w = 0. Ist α 0,
dann ist U = Ker(α) ein abgeschlossener Unterraum von V. Daher ist H = U ⊕ U ⊥ und
da U H, ist U ⊥ 0. Sei also w 0 ∈ U ⊥ mit ||w 0 || = 1. Dann ist α(w 0 ) = c 0. Setze
w = cw 0 . Dann ist
α(w 0 ) = c = 〈w 0 , w〉 .
Da α einen Isomorphismus U ⊥ → K induziert, ist U ⊥ = Kw 0 , also insbesondere ist
jedes v ∈ H von der Form v = λw 0 + u mit u ∈ U. Daher ist
α(v) = α(λw 0 + u) = λc = α 〈w 0 , w〉 = 〈v, w〉 .
Dies zeigt die Existenz. Für die Eindeutigkeit nimm an, es gebe einen weiteren Vektor
w ′ mit α(v) = 〈v, w ′ 〉. Dann gilt für jedes v ∈ H, dass 0 = 〈v, w − w ′ 〉. Insbesondere für
v = w − w ′ folgt w − w ′ = 0.
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2.4 Vervollständigung
Seien X, Y metrische Räume. Eine Isometrie von X nach Y ist eine Abbildung
f : X → Y mit
d( f (x), f (x ′ )) = d(x, x ′ )
für je zwei Elemente x, x ′ ∈ X. Eine Isometrie ist stetig und injektiv. Ist eine Isometrie
surjektiv, so ist ihre Umkehrabbildung ebenfalls eine Isometrie. Eine bijektive
Isometrie heisst isometrischer Isomorphismus.
Ein metrischer Raum X heisst vollständig, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert.
Satz 2.4.1 (Vervollständigung) Sei X ein metrischer Raum. Dann existiert eine
Isometrie ϕ: X → ˆX in einen vollständigen metrischen Raum ˆX, so dass das Bild ϕ(X)
dicht in ˆX liegt. Das Paar ( ˆX, ϕ) nennt man eine Vervollständigung von X.
Die Vervollständigung ist eindeutig bestimmt in folgendem Sinne: Ist ψ : X → Y eine
weitere Isometrie auf einen dichten Teilraum eines vollständige Raumes Y, dann existiert
genau ein isometrischer Isomorphismus α : ˆX → Y so dass ψ = α ◦ ϕ, d.h., das Diagramm
X ϕ
ψ
ˆX
α
Y