Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 4
1.1 Erzeuger und Abzählbarkeit
Für ein gegebenes System von Teilmengen E ⊂ P(X) existiert eine kleinste Topologie,
die E enthält, nämlich
O E =
⋂
O⊃E
O Topologie
Man nennt O E die von E erzeugte Topologie.
O.
Lemma 1.1.1 Sei E ⊂ P(X) beliebig. Sei dann S ⊂ P(X) das System aller Mengen der Form
A 1 ∩ · · · ∩ A n ,
wobei A 1 , . . . , A n ∈ E. Als nächstes sei T ′ das System aller Mengen der Form
⋃
S i ,
mit S i ∈ S für jedes i ∈ I. Schliesslich setze T = T ′ ∪ {∅, X}. Dann gilt O E = T .
i∈I
Beweis: Jede Topologie, die E enthält, enthält auch S und T , also T ⊂ O E .
Andererseits werden wir sehen, dass T selbst eine Topologie ist, da T den Erzeuger E
enthält, folgt auch T ⊃ O E .
Es bleibt also zu zeigen, dass T eine Topologie ist.
• ∅, X ∈ T gilt nach Definition.
• Beliebige Vereinigungen von Elementen von T sind wieder Elemente von T .
• Wir zeigen A, B ∈ T ⇒ A ∩ B ∈ T . Ist eine der Beiden Mengen gleich ∅ oder X,
so ist die Behauptung klar. Seien also
⋃
⋃
A = S i , B =
i∈I
j∈J
T j
mit S i , T j ∈ S. Dann ist
⋃
A ∩ B = S i ∩ T j .
I∈I
j∈J
Mit S i , T j ∈ S folgt aber S i ∩ T j ∈ S, also ist A ∩ B ∈ T .