Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 95
(c) Die Menge der Spurklassen-Operatoren ist ein Untervektorraum von B(H) und ||.|| Sp
ist eine Norm.
(d) Für einen kompakten Operator T mit singulären werten (s j ) gilt ∑ j s 2 = ||T|| 2 j HS und
daher ist T genau dann Hilbert-Schmidt, wenn ∑ j s 2 < ∞ ist.
j
(e) T ist genau dann Spurklasse, wenn ∑ j s j < ∞.
(f) T ist genau dann Spurklasse, wenn es zwei Hilbert-Schmidt Operatoren S 1 , S 2 gibt so
dass T = S 1 S 2 .
(g) Für jeden Operator T auf H gilt
||T|| ≤ ||T|| HS ≤ ||T|| Sp .
Beweis: (a) Sei T ein kompakter Operator. Da die singulären werte s j die Eigenwerte
des Operators |T| sind und da stets gilt ||Tv|| = |||T|v||, gilt s 1 (T) = ||T|| und
s j+1 (T) =
inf sup{||Tw|| : w ⊥ v 1, . . . , v j , ||w|| = 1}.
v 1 ,...,v j ∈H
Hieraus folgt sofort, dass für jeden beschränkten Operator S auf H gilt
s j (ST) ≤ ||S|| s j (T) und damit folgt die Ungleichung ||ST|| Sp ≤ ||S|| ||T|| Sp Die Ungleichung
||TS|| Sp ≤ ||S|| ||T|| Sp aus ||T|| = ||T ∗ || und ||T|| Sp = ||T ∗ || Sp .
(b) Wir brauchen ein Lemma.
Lemma 7.3.3 Sei T ein kompakter Operator auf H und seien (s j ) seine singulären Werte. Es
gibt orthonormale Folgen ( f j ), (g j ) von H, so dass für jedes v ∈ H gilt
∑ 〈 〉
Tv = s j v, fj gj .
j
Beweis: Da |T| selbstadjungiert ist, gibt es eine orthonormale Folge ( f j ) mit |T| f j = s j f j .
Da die ( f j ) dann eine ONB von Bild(|T|) sind, gilt für jedes v ∈ H, dass
|T|v = ∑ 〈 〉
j |T|v, fj fj = ∑ 〈 〉
j s j v, fj fj und damit
⎛
∑ 〈 〉 ∑ 〈 〉
Tv = U|T|v = U s ⎜⎝ j v, fj fj
⎞⎟ = s ⎠ j v, fj U fj .
j
j