Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 68
6 Funktionalkalkül
6.1 Spektrum und Resolvente
Definition 6.1.1 Sei T ein stetiger linearer Operator auf einem Hilbert-Raum H. Die
Resolventenmenge Res(T) von T ist die Menge aller λ ∈ C, für die der Operator
T − λ = T − λId bijektiv ist. Nach dem Satz der offenen Abbildung ist dann die
Umkehrabbildung (T − λ) −1 wieder ein stetiger Operator, der die Resolvente genannt
wird.
Der Name kommt daher, dass die Resolvente es erlaubt, die Gleichung
(T − λ)x = a
zu lösen, es ist dann nämlich
x = (T − λ) −1 a.
Definition 6.1.2 Die Menge σ(T) = C Res(T) heisst das Spektrum von T.
Beispiel 6.1.3 Ist H endlich-dimensional, dann besteht σ(T) genau aus den Nullstellen
des charakteristischen Polynoms, es ist dann also
σ(T) = Menge der Eigenwerte von T.
Definition 6.1.4 Sei T ein stetiger Operator auf einem Hilbert-Raum H. Ist
Ker(T − λ) 0, so heisst λ Eigenwert von T.
Es gibt auch Spektralwerte, die keine Eigenwerte sind. In diesem Fall ist t − λ zwar
injektiv, nicht aber surjektiv.
Beispiel 6.1.5 Multiplikationsoperator Sei H = L 2 (0, 1) und sei T : H → H gegeben
durch
T( f )(t) = t f (t).
Wir behaupten, dass T keine Eigenwerte hat, das Spektrum aber aus dem ganzen
Intervall [0, 1] besteht.
Beweis: Zum ersten sei λ ∈ C und f ∈ H mit (T − λ) f = 0. Das heisst, dass
0 = (T − λ) f (t) = t f (t) − λ f (t) = (t − λ) f (t)