Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 17
1.9 Der Satz von Stone-Weierstraß
Definition 1.9.1 Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum. Eine stetige Funktion
f : X → C verschwindet im Unendlichen, falls es zu jedem ε > 0 ein Kompaktum
K ⊂ X gibt so dass | f (x)| < ε für jedes x ∈ X K.
Wir bezeichnen mit C(X) die Menge aller stetigen Funktion von X nach C und mit
C 0 (X) die Menge aller stetigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden. Sie
enthält die Menge C c (X) aller stetigen Funktionen mit kompakten Trägern.
Lemma 1.9.2 Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum. Jedes f ∈ C 0 (X) ist beschränkt und
die Supremumsnorm
∣ ∣ ∣ ∣ f
∣ ∣∣
∣ ∣∣X
= sup{| f (x)| : x ∈ X}
macht C 0 (X) zu einem Banach-Raum, also einem vollständigen normierten Vektorraum.
Beweis: Sei f ∈ C 0 (X). Zu ε = 1 gibt es dann ein Kompaktum K ⊂ X mit | f (x)| < ε für
x ∈ X K, also ist f ausserhalb eines Kompaktums K beschränkt. Da f stetig ist, ist
f (K) ⊂ C kompakt, also beschränkt, damit ist f überall beschränkt. Daher ist die
Sup-Norm auf C 0 (X) wohldefiniert. Für die Vollständigkeit sei ( f j ) j∈N eine
Cauchy-Folge. Sei x ∈ X. Wegen | f i (x) − f j (x)| ≤ ∣ ∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣X fj − f i ist f j (x) eine Cauchy-Folge in
C, also konvergent gegen eine komplexe Zahl, die wir f (x) nennen. Dann ist
f : X → C eine Funktion und die Folge f j konvergiert punktweise gegen f . Wir zeigen,
dass sie gleichmässig konvergiert. Sei ε > 0, dann existiert ein j 0 so dass ∣ ∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣X fj − f i < ε
für alle i, j ≥ j 0 gilt. Für j ≥ j 0 und x ∈ X gilt dann also
| f j (x) − f (x)| = lim
i
| f j (x) − f i (x)| ≤ ε.
Nehmen wir das Supremum über alle x ∈ X, so sehen wir
∣ ∣ ∣ ∣ fj − f ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣X
≤ ε
für jedes j ≥ j 0 , also konvergiert die Folge in der Norm gegen f .
Wir zeigen, dass f stetig ist. Sei hierzu U ⊂ C eine offene Menge. Wir wollen zeigen,
dass f −1 (U) offen ist. Sei also x 0 ∈ f −1 (U). Dann ist f (x 0 ) ∈ U und es existiert ein ε > 0
so dass U ε ( f (x 0 )) ⊂ U. Es gibt nun ein j mit | f (x) − f j (x)| < ε/3 für jedes x ∈ X. Dann ist
V = f −1 (U
j ε/3 ( f (x 0 ))) offen in X. Wir behaupten
x 0 ∈ V ⊂ f −1 (U).