Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 134
Satz 11.2.2 Ist S ∈ C ∞ (R n ) ′ , so ist die Einschränkung auf C ∞ c (R n ) eine Distribution mit
kompaktem Träger. Die Einschränkung definiert eine lineare Bijektion
Also kann man sagen:
res : C ∞ (R n ) ′
−→ {T ∈ C ∞ c (R n ) ′ : supp(T) ist kompakt}.
C ∞ (R n ) ′
ist der Raum der Distributionen mit kompaktem Träger.
Beweis: Sei S eine stetige Linearform auf C ∞ (R n ). Durch Einschränkung auf
C ∞ c (R n ) ⊂ C ∞ (R n ) definiert S eine lineare Abbildung, die mit Lemma 11.1.1 als stetig
erkannt wird. Wir wollen zeigen, dass diese Distribution kompakten Träger hat.
Angenommen, S habe keinen kompakten Träger, d.h., wir nehmen an, dass es zu
jedem Kompaktum K ⊂ R ein f ∈ C ∞ c (R n ) gibt mit Träger in R K so dass S( f ) 0, also
indem man f mit einem Skalar multipliziert, S( f ) = 1. Wir definieren nun induktiv
eine Folge von Funktionen. Sei f 1 ∈ C ∞ c (R n ) eine beliebige Funktion mit S( f 1 ) = 1. Sei f j
bereits konstruiert und sei f j+1 ∈ C ∞ c (R n ) mit Träger ausserhalb der 1-Umgebung von
supp f 1 ∪ supp f 2 ∪ · · · ∪ supp f j
und S( f j+1 ) = 1. Sei h j = f 1 + · · · + f j . Da die Träger der f j paarweise Abstand ≥ 1
voneinander haben, konvergiert die Folge h j lokal gleichmässig gegen eine Funktion
h = ∑ ∞
j=1 f j . Andererseits ist aber S(h j ) = S( f 1 ) + · · · + S( f j ) = j und diese Folge
konvergiert nicht, was der Stetigkeit von S widerspricht! Damit ist die Annahme
falsch, S hat also kompakten Träger.
Injektivität von res: Sei S im kern der Restriktionsabbildung, also S( f ) = 0 falls f
kompakten Träger hat. Sei nun h ∈ C ∞ (R n ) und für jedes j ∈ N sei χ j ∈ C ∞ c (R n ) so dass
⎧
⎪⎨ 1 falls |x| ≤ j,
χ j (x) =
⎪⎩ 0 falls |x| ≥ j + 1.
Dann konvergiert die Folge h j = χ j h in C ∞ (R n ) gegen h. Daher ist S(h) = lim j S(h j ) = 0.
Also ist S = 0 und res injektiv.