Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 100
definieren wir
∑
µ(A) = Pr λ ,
wobei Pr λ die Orthogonalprojektion auf den Eigenraum Eig(T, λ) ist. Da
verschiedene Eigenräume von T senkrecht aufeinander stehen, ist µ ein
Spektralmaß.
• Sei H = L 2 (R) und für jede messbare Teilmenge A ⊂ R sei µ(A) : H → H gegeben
durch
µ(A)(ϕ) = 1 A ϕ.
Dann ist µ ein Spektralmaß.
Proposition 8.1.2 Ist µ ein Spektralmaß, dann ist für jedes v ∈ H die Abbildung
λ∈A
A ↦→ µ(A)v
ein abzählbar additives, H-wertiges Maß auf Ω. Mit anderen Worten, µ : A → B(H) ist
σ-additiv, wenn wir B(H) mit der starken Topologie versehen.
Man beachte, dass µ als Abbildung von A nach B(H) im Allgemeinen nicht σ-Additiv
ist, wenn B(H) die Normtopologie trägt!
Beweis: Nur die σ-Additivität ist zu zeigen. Seien also A 1 , A 2 , . . . paarweise disjunkte
messbare Mengen und A = ⋃ j A j . Nach Voraussetzung ist für jedes w ∈ H,
∞∑ 〈
µ(Aj )v, w 〉 = 〈 µ(A)v, w 〉 .
j=1
Sei v j = µ(A j )v. Da die A j paarweise disjunkt sind, sind die v j paarweise orthogonal.
Da
∑
∣ ∣ ∣
∣vj
∣∣ ∑ ∣∣ 2 = ∣ ∣ ∣µ(Aj )v ∣ ∑
∣
∣∣ 2
〈
= µ(Aj )v, µ(A j )v 〉
j
j
j
∑ 〈
= µ(Aj )v, v 〉 ∑
= µ v,v (A j ) = µ v,v (A) ≤ µ v,v (X) = ||v|| 2 < ∞
j
j
konvergiert die Reihe ∑ j v j in der Norm gemäss Satz 4.2.11.
□
Beispiel 8.1.3 Ein Beispiel, dass ein Spektralmass als Abbildung nach B(H) nicht
σ-additiv ist: Sei H = L 2 (R) und µ(A)(ϕ) = 1 A ϕ. Sei A j = (j, j + 1) für j ∈ N und sei