Funktionalanalysis - Mathematik
Funktionalanalysis - Mathematik
Funktionalanalysis - Mathematik
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
FUNKTIONALANALYSIS 132<br />
Definition 11.1.2 Eine Distribution auf R n ist eine stetige lineare Abbildung<br />
T : C ∞ c (R n ) → C.<br />
Beispiele 11.1.3<br />
• Die Delta-Distribution<br />
δ( f )<br />
def<br />
= f (0),<br />
die auch Dirac-Distribution genannt wird.<br />
• Das Integral<br />
I( f )<br />
def<br />
=<br />
∫<br />
R n<br />
f (x) dx.<br />
• Eine Funktion φ auf R n heisst lokal integrierbar, falls jede Punkt x ∈ R n eine<br />
Umgebung U besitzt, auf der φ integrierbar ist. Dies ist äquivalent dazu, dass φ<br />
auf jedem Kompaktum integrierbar ist. Jede lokal integrierbare Funktion φ<br />
definiert eine Distribution I φ durch<br />
I φ ( f )<br />
def<br />
=<br />
∫<br />
R n<br />
f (x) φ(x) dx.<br />
Der komplexe Vektorraum der Distributionen wird mit C ∞ c (R n ) ′ bezeichnet. Eine<br />
Distribution T ist im allgemeinen keine Funktion, also macht es keinen Sinn, T(x) zu<br />
schreiben, es ist aber dennoch suggestiv zu schreiben<br />
∫<br />
T( f ) = T(x) f (x) dx.<br />
R n<br />
Zum Beispiel, ist T eine Distribution, so ist die Distribution T(x − a), a ∈ R n , definiert<br />
durch<br />
∫<br />
R n T(x − a) f (x) dx def<br />
=<br />
∫<br />
R n T(x) f (x + a) dx.<br />
Also T(x − a) angewendet auf f ist dasselbe wie T angewendet auf x ↦→ f (x + a). So ist<br />
also<br />
∫<br />
∫<br />
δ(x − a) f (x) dx = δ(x) f (x + a) dx = f (a).<br />
R n R n<br />
Proposition 11.1.4 Sei L 1 lok (Rn ) der Raum der lokal-integrierbaren Funktionen modulo
Change language