Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 91
Sei nun(φ α ) eine zweite ONB. Da wir die Unabhängigkeit noch nicht gezeigt haben,
schreiben wir ||T|| 2 HS (e i) und ||T|| 2 HS (φ α), für die entsprechenden HS-Normen. Wir
rechnen
∑ ∑
||T|| 2 HS (e 〈 〉 〈 〉
j) = Tej , φ α φα , Te j
j
α
∑ ∑ 〈 〉 〈 〉
= ej , T ∗ φ α T ∗ φ α , e j
j
α
∑ ∑ 〈 〉 〈 〉
= ej , T ∗ φ α T ∗ φ α , e j
α j
= ||T ∗ || 2 HS (φ α).
Die Vertauschung ist gerechtfertigt, da alle Summanden positiv sind. Indem wir dies
zunächst für (e j ) = (φ α ) und dann für T ∗ anstelle von T anwenden, erhalten wir
||T|| 2 HS (e j) = ||T ∗ || 2 HS (e j) = ||T|| 2 HS (φ α).
Der Operator T heisst ein Hilbert-Schmidt-Operator, falls
||T|| HS < ∞.
Satz 7.2.1 (a) Die Menge HS aller Hilbert-Schmidt-Operatoren ist ein
Untervektorraum von B(H). Die Vorschrift
∑ 〈 〉
〈S, T〉 HS = Sej , Te j
definiert ein Skalarprodukt auf HS, das nicht von der Wahl der ONB (e j ) abhängt.
Die Abbildung ||.|| HS ist eine Norm auf HS.
(b) Für jeden beschränkten Operator T auf H gilt
j
||T|| ≤ ||T|| HS .
Für jeden unitären Operator U ist ||UT|| HS = ||TU|| HS = ||T|| HS .
(c) Jeder Hilbert-Schmidt-Operator ist kompakt.