Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 56
Beweis: Sei v j schwach konvergent. Dann ist die Folge linearer Funktionale
δ vj : V ′ → K punktweise konvergent, also punktweise beschränkt, somit nach dem
Satz von Banach-Steinhaus normbeschränkt, also existiert ein C > 0 mit
C ≥ ∣ ∣ ∣∣δvj
∣ ∣∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣vj
∣ ∣∣ ∣∣ = (siehe Proposition 4.1.2).
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Definition 4.2.7 Sei V ein Banach-Raum und V ′ sein stetiger Dualraum. Die
schwach-*-Topologie auf V ′ ist die Topologie erzeugt von allen Abbildungen
δ v : V ′ → K, v ∈ V.
Satz 4.2.8 (Banach-Alaoglu) Der abgeschlossene Einheitsball ist schwach-*-kompakt.
Genauer sei V ein Banach-Raum und V ′ sein stetiger Dual. Sei ||·|| die Norm auf V ′ und sei
B ′ = {α ∈ V ′ : ||α|| ≤ 1} .
Dann ist B ′ kompakt in der schwach-*-Topologie.
Beweis: Sei E die Menge aller α ∈ K mit |α| ≤ 1. Betrachte die Abbildung
∏
φ : B ′ → X def
=
||v|| E gegeben durch
v∈V
α ↦→ (α v ) v∈V ,
α v = α(v).
Der Raum X ist nach dem Satz von Tychonov kompakt. Die schwach-*-Topologie ist
die Initialtopologie der Abbildung φ, welche injektiv ist, also B ′ mit einer Teilmenge
von X identifiziert. Wir müssen nur zeigen, dass diese Teilmenge abgeschlossen ist.
Sei F ⊂ X die Teilmenge aller α ∈ X so dass für alle v, w ∈ V und alle λ, µ ∈ K gilt
α λv+µw = λα v + µα w .
Dann ist F abgeschlossen in der Produkttopologie. Nun ist F ⊂ X aber gerade das Bild
von φ, welches damit abgeschlossen ist.
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Korollar 4.2.9 Ist V ein reflexiver Banach-Raum, dann ist die Einheitskugel B = B 1 (0) in V
schwach kompakt.