Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 110
Beispiele 9.2.3
• Jeder normierte Raum (V, ||.||) ist ein topologischer Vektorraum,
wobei die offenen Mengen genau die Vereinigungen von offenen Bällen
B r (v) = {w ∈ V : ||v − w|| < r}
mit v ∈ V und r > 0 sind.
• Der Schwartz-Raum S ist ein topologischer Vektorraum, wobei die Topologie
von den offenen Bällen
B r,m,n ( f ) = {g ∈ S : σ m,n ( f − g) < r}
mit f ∈ S, r > 0 und m, n ∈ N 0 erzeugt wird.
• Sei 0 < p < 1. Dann ist der Raum L p (R) aller messbaren Funktionen f auf R mit
∫
R | f (x)|p dp < ∞ modulo Nullfunktionen ein topologischer Vektorraum,
allerdings kein normierter Raum, da ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ f
∣ ∣∣
∣ ∣∣p
= (∫ R | f (x)|p dx ) 1 p
ist! (Die Dreiecksungleichung gilt nicht.)
für p < 1 keine Norm
Proposition 9.2.4 Jeder endlich-dimensionale topologische Vektorraum ist isomorph zum C n .
Genauer gilt folgendes: Ist V ein endlich-dimensionaler topologischer Vektorraum und ist
f : C n → V ein Isomorphismus von Vektorräumen, dann sind f und f −1 stetig.
Beweis: Wir zeigen zunächst die Stetigkeit von f . Seien v 1 , . . . , v n die Bilder der
Standard-Basis-Vektoren e 1 , . . . e n des C n . Dann ist f (λ 1 , . . . , λ n ) = λ 1 v 1 + · · · + λ n v n . Die
Stetigkeit von f ist nun eine einfache Konsequenz der Stetigkeit der Skalaren
Multiplikation und der Addition.
Die Stetigkeit von f −1 folgt aus dem Satz der offenen Abbildung.
□
Eine Halbnorm auf einem K-Vektorraum E ist eine Abbildung p : E → [0, ∞) mit
folgenden Eigenschaften:
• p(αx) = |α|p(x) für α ∈ K und x ∈ E,
• p(x + y) ≤ p(x) + p(y)
Multiplikativität
Dreiecksungleichung
Eine Halbnorm ist also wie eine Norm, bis auf die Tatsache, dass sie nicht positiv
definit zu sein braucht.