Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 130
nehmen und wir sehen, dass der Raum C ∞ c (R n ) in der Tat ein sehr grosser Raum ist.
Für beliebiges n können wir h 1 , . . . , h n ∈ C ∞ c (R n ) wählen, dann ist
h(x) = h 1 (x 1 ) · · · h n (x n )
ein Element von C ∞ c (R n ).
Wir könnten C ∞ c (R n ) die Teilraumtopologie von C ∞ (R n ) geben. Die ist für unsere
Zwecke aber nicht geeignet, denn wir wollen zB dass das Integral
I : C ∞ c (R n ) → C
∫
f ↦→ f (x) dx (Lebesgue-Maß)
R n
eine stetige Linearform wird. In der Teilraumtopologie von C ∞ (R n ) ist es das aber
nicht, sei zB f ∈ C ∞ c (R n ) mit ∫ R n
C ∞ (R), aber
I( f j ) = 1 j
f (x) dx 0. Die Folge f j (x) = 1 f (x/j) geht gegen Null in
j
∫
R
f (x/j) dx = j n−1 ∫
R
f (x) dx
geht nicht gegen Null. Wir wissen, dass das Integral mit Limiten vertauscht, wenn die
Träger einer Funktionenfolge alle in einem festen Kompaktum bleiben. Also müssen
wir C ∞ c (R n ) mit einer Topologie versehen, die dies berücksichtigt.
Für N ∈ N sei C ∞ N (Rn ) die Menge aller f ∈ C ∞ c (R n ) mit Träger im abgeschlossenen Ball
B N (0). Wir versehen C ∞ N (Rn ) mit der Teilraumtopologie von C ∞ (R n ), also der Topologie
induziert durch die Halbnormen
σ α ( f ) = sup |∂ α f (x)|, α ∈ N n 0 .
x∈B N (0)
Es gilt dann
C ∞ c (R n ) =
⋃
C ∞ N (Rn ).
N∈N
Wir versehen C ∞ c (R n ) nun mit der sogenannten induktiven Limes-Topologie, das ist
die Finaltopologie der Abbildungen C ∞ N (Rn ) → C ∞ c (R n ). Es gilt dann, dass eine
Abbildung ψ : C ∞ c (R n ) → Y in irgendeinen topologischen Raum Y genau dann stetig
ist, wenn die Einschränkung ψ| C ∞
N (Rn ) für jedes N ∈ N stetig ist.
Lemma 11.1.1 (a) Eine Folge (g j ) in C ∞ c (R n ) konvergiert genau dann gegen g ∈ C ∞ c (R n ).
wenn es ein N ∈ N gibt, so dass alle g j in C ∞ N (Rn ) liegen und jede Ableitung ∂ α g j