Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 5
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Definition 1.1.2 Eine Umgebungsbasis eines Punktes x ∈ X ist eine Familie (U i ) i∈I
von Umgebungen von x so dass jede Umgebung U eines der U i enthält. Ist jedes U i
offen, so sprechen wir von einer offenen Umgebungsbasis.
Ein topologischer Raum X genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom, wenn jeder
Punkt x eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.
Beispiele 1.1.3 • Sei (X, d) einmetrischer Raum. Für jedes x ∈ X ist die Familie der
Bälle (B 1/n (x)) n∈N eine Umgebungsbasis von x. also genügt jeder metrische Raum
dem ersten Abzählbarkeitsaxiom.
• Die Co-endlich Topologie auf einer überabzählbaren Menge X genügt nicht dem
ersten Abzählbarkeitsaxiom.
Definition 1.1.4 Eine Basis der Topologie ist eine Familie (U i ) i∈I von offenen Mengen
so dass jede offene Menge als Vereinigung von Mitgliedern U i der Familie geschrieben
werden kann. Die Familie der offenen Intervalle (a, b), wobei a und b rationale Zahlen
sind, ist eine Topologie-Basis von R.
Definition 1.1.5 Ein topologischer Raum genügt dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom,
wenn er eine abzählbare Topologie-Basis besitzt.
Es ist eine Konsequenz des Lemmas 1.1.1, dass ein Raum genau dann dem zweiten
Abzählbarkeitsaxiom genügt, wenn die Topologie einen abzählbaren Erzeuger besitzt.
Beispiel 1.1.6 Ein Beispiel für einen Raum, der keine abzählbare Topologiebasis
besitzt, ist schnell gegeben: Sei X eine überabzählbare Menge und O = P(X) die
diskrete Topologie. Dann ist die Menge aller Singletons {x} mit x ∈ X die kleinste
Topologiebasis die es gibt. Diese widersetzt sich einer Abzählung.
1.2 Stetigkeit
Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen heisst stetig, wenn für
jede offene Menge U ⊂ Y das Urbild f −1 (U) ⊂ X offen ist.