Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 61
auch eine Rechtsinverse, T also unitär.
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Beispiele 5.2.3
• Auf l 2 (N) sei T definiert durch
T(x 1 , x 2 , . . . ) = (0, x 1 , x 2 , . . . ).
Dann folgt ||Tx|| 2 = ||x|| 2 , also ist T eine Isometrie, aber da e 1 Bild(T), ist T nicht
surjektiv, also nicht unitär. Der Operator T wird der Shiftoperator genannt. Man
sieht leicht, dass
T ∗ (x 1 , x 2 , . . . ) = (x 2 , x 3 , . . . )
und damit folgt T ∗ T = Id. Man sieht also, dass die Identität T ∗ T = Id allein nicht
zur Unitarität ausreicht!
• Auf l 2 (Z) ist der Shiftoperator
T(. . . , x −1 , x 0 , x 1 , . . . ) = (. . . , x −2 , x −1 , x 0 , . . . ),
also (Tx) k = x k−1 unitär.
• Ist f ∈ L 1 (R), so ist die Fourier-Transformierte
∫
f ˆ(x) = f (y)e 2πixy dy
R
definiert. Ist f ∈ L 1 ∩ L 2 , so besagt der Satz von Plancherel:
∣ ∣ ∣ ∣ f
∣ ∣∣
∣ ∣∣2
= ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ ˆ f
∣ ∣∣
∣ ∣∣2
,
wobei ∣ ∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣ 2
f = ∫ | f 2 R (x)|2 dx die L 2 -Norm ist. Der Raum L 1 ∩ L 2 liegt dicht in L 2 und
daher setzt die Fourier-Transformation zu einer Isometrie auf dem Hilbert-Raum
L 2 (R) aus. Man zeigt, dass die Fourier-Transformierte in der Tat unitär ist mit
ˆ f (x) = f (−x).
• Eine n × n Matrix A ∈ M n (C) ist als Operator auf C n genau dann unitär, wenn
A ∗ = A −1 , wobei A ∗ = A t .