Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 55
Beweis: Die Inklusion K ⊂ K w gilt sowieso. Für die umgekehrte Inklusion sei
v ∈ V K, wir zeigen v K w . Nach Satz 3.1.6 gibt es ein α ∈ V ′ und S, T ∈ R mit
Re(α(v)) < S < T < Re(α(w))
für jedes w ∈ K. Daher ist die Menge {u ∈ V : Re(α(u)) < S eine schwache Umgebung
von v, die K nicht trifft. Also liegt v nicht im schwachen Abschluss von K und also
auch nicht in K w .
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Satz 4.2.4 Sei V ein Banach-Raum. Sei (v n ) eine Folge in V, die schwach gegen v ∈ V
konvergiert. Dann existiert eine Folge (w j ) in V so dass
• jedes w j ist eine Konvexkombination von endlich vielen v n und
• w j → v in der Norm.
Genauer heisst das, dass es für jedes j ∈ N Zahlen a n,j ≥ 0 gibt, so dass für jedes j nur
endlich viele a n,j 0 sind und so dass gilt
∞∑
a n,j = 1,
n=1
∞∑
a n,j v i = w j .
n=1
Beweis: Sei K die konvexe Hülle aller v n und sei W der schwache Abschluss von K.
Dann liegt v in W. Da K konvex ist, gilt W = K, also gibt es eine Folge in K, die gegen
v konvergiert.
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Beispiel 4.2.5 Wir wenden dies auf die Folge e n in V = l 2 (N) an. Es gibt demnach eine
Konvexkombination v n der e k so dass ||v n || → 0. In der Tat, sei
v n = 1 n (e 1 + · · · + e n ),
so gilt ||v n || 2 = n n 2 = 1 n → 0.
Lemma 4.2.6 Jede schwach konvergente Folge ist normbeschränkt. Sei also v j eine schwach
konvergente Folge in einem Banach-Raum V. Dann existiert ein C > 0 so dass ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣vj
∣ ∣∣
∣ ∣∣ ≤ C für
jedes j ∈ N.