Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 58
5 Stetige Operatoren auf Hilbert-Räumen
Ab jetzt arbeiten wir nur noch über K = C.
5.1 Adjungierte Operatoren
Für einen Hilbert-Raum H schreiben wir B(H) für den Banach-Raum aller stetigen
Operatoren T : H → H.
Satz 5.1.1 Sei H ein Hilbert-Raum und T ∈ B(H).
(a) Es gibt genau einen linearen Operator T ∗ auf H so dass für alle v, w ∈ H gilt
〈Tv, w〉 = 〈v, T ∗ w〉 .
Dieser heisst der adjungierte Operator zu T. Ein Operator T heisst
selbstadjungiert, falls T ∗ = T gilt.
(b) Es gilt ||T ∗ || = ||T|| = √ ||T ∗ T||.
(c) Für S, T ∈ B(H) und λ, µ ∈ C gilt
(λS + µT) ∗ = λS ∗ + µT ∗ , (ST) ∗ = T ∗ S ∗ , (T ∗ ) ∗ = T.
Beweis: (a) Sei w ∈ H fest. Das lineare Funktional α(v) = 〈Tv, w〉 ist als Komposition
stetiger Abbildungen stetig, also existiert genau ein Vektor u = T ∗ w so dass für jedes
v ∈ H gilt
〈Tv, w〉 = 〈v, T ∗ w〉 .
Die so definierte Abbildung w ↦→ T ∗ w ist schnell als linear erkennt, etwa gilt
〈v, T ∗ (w + w ′ )〉 = 〈Tv, w + w ′ 〉 = 〈Tv, w〉+〈Tv, w ′ 〉 = 〈v, T ∗ w〉+〈v, T ∗ w ′ 〉 = 〈v, T ∗ w + T ∗ w ′ 〉 ,
so dass die Eindeutigkeit im Rieszschen Satz die Gleichung T ∗ (w + w ′ ) = T ∗ w + T ∗ w ′
impliziert. Die Skalarmultiplikation T ∗ (αw) = αT ∗ w für α ∈ C geht ebenso.
(b) Wir zeigen zuerst: T ∗ ist beschränkt und T ∗∗ = T. Sei hierzu für w ∈ H das