Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 89
Beweis: Sei T kompakt. Wir schreiben T = S + iR mit selbstadjungierten Operatoren
S = 1 2 (T + T∗ ) und R = 1 2i (T − T∗ ). Mit T ist auch T ∗ kompakt und damit sind R und S
kompakt. Wenn wir R und S durch Operatoren von endlichem Rang approximieren
können, dann auch T. Es reicht also, T als selbstadjungiert anzunehmen. Dann saht
aber der Spektralsatz, dass
∑
T = λ j P j ,
mit einer Nullfolge (λ j und Projektionen P j von endlichem Rang gilt. Sei
F n = ∑ n
j=1 λ j P j . dann folgt
j
||F n − T|| = max{|λ j | : j > n} → 0.
Damit ist T ein Limes von Operatoren von endlichem Rang.
Für die Umkehrung sei v j eine beschränkte Folge und sei T der Norm-Limes einer
Folge F n von stetigen Operatoren von endlichem Rang. Wir können ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣vj
∣ ∣∣
∣ ∣∣ , ||T|| ≤ 1
annehmen. Dann hat v j eine Teilfolge v 1 j
so dass F 1 (v 1 j ) konvergiert. Dann hat v1 j
eine
Teilfolge v 2 so dass F
j 2 (v 2) konvergiert und so weiter. Sei w j j = v j . Für jedes n ∈ N
j
konvergiert die Folge (F n (w j )) j∈N . Da T der Norm-Limes der F n ist, konvergiert die
Folge Tw j ebenfalls.
□
Beispiel 7.1.8 (Spektralzerlegung eines Operatorkerns) Sei k ∈ l 2 (N × N). Wir haben
bereits festgestellt, dass der Operator T k mit Kern k kompakt ist. Ferner wissen wir
T ∗ = T k k ∗, wobei k∗ (n, m) = k(m, n). Nehmen wir nun an, dass T k selbstadjungiert ist.
Dies ist genau dann der Fall wenn k = k ∗ gilt. Nach dem Spektralsatz existiert dann
eine ONB aus Eigenvektoren (φ j ) j∈J . Wir behaupten nun, dass gilt
∑
k(n, m) = λ j φ j (n)φ j (m),
j∈J
wobei die Summe in l 2 (N × N) (also insbesondere punktweise) konvergiert.
Beweis: Wir zeigen zunächst dass (φ i φ j ) (i,j)∈J 2 eine ONB von l 2 (N × N) ist. Es gilt
〈 〉 ∑
φi φ j , φ µ φ ν = φ i (n)φ j (m)φ µ (n)φ ν (m)
n,m
⎛
⎞ ⎛
⎞
∑
∑
= ⎜⎝ φ i (n)φ µ (n) ⎟⎠ ⎜⎝ φ j (m)φ ν (m) ⎟⎠
n
m
= 〈 φ i , φ µ
〉 〈
φν , φ j
〉
= δi,µ δ ν,j = δ (i,j),(µ,ν) .