Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 76
und damit auch
d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B)
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Lemma 6.1.17 Sind A j , j ∈ N und A nicht-leere, kompakte Teilmengen von C, so konvergiert
die Folge A j genau dann gegen A, wenn
• zu jedem a ∈ A gibt es eine Folge a j ∈ A j mit a j → a und
• Ist (a j ) eine Folge mit a j ∈ A j , dann hat jede Teilfolge einen Häufungspunkt in A.
Beweis: Übungsaufgabe.
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Lemma 6.1.18 Ist X ein nicht-leerer kompakter metrischer Raum und ist f j ∈ C(X) eine
Folge stetiger Funktionen, die in der Supremumsnorm
||h|| = sup |h(x)|
x∈X
gegen ein f ∈ C(X) konvergiert. Dann konvergiert die Folge der Bilder
A j = f j (X)
in der Hausdorff-Metrik gegen A = f (X).
Beweis: Sei a ∈ A, etwa a = f (x), dann konvergiert a j = f j (x) ∈ A j gegen a.
Ist andersherum a j ∈ A j eine in C konvergente Folge mit Limes z ∈ C. Wir wollen
zeigen, dass z ∈ A gilt. Sei etwa a j = f (x j ). Die Folge x j in X hat eine konvergente
Teilfolge, wir ersetzen sie durch diese Teilfolge und nehmen an, dass x j → x gilt. Wir
behaupten, dass f (x) = z gilt. Sei ε > 0. Dann gibt es j ∈ N mit ∣ ∣ ∣∣ fj − f ∣ ∣ ∣∣ < ε/3 und
|a j − z| < ε/3, sowie | f (x) − f (x j )| < ε/3. Es folgt
| f (x) − z| = | f (x) − f (x j ) + f (x j ) − f j (x j ) + f j (x j ) − z|
≤ | f (x) − f (x j )| + | f (x j ) − f j (x j )| + | f j (x j ) −z|
}{{}
=a j
< ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε.
Da ε beliebig war, folgt f (x) = z.
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