Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 19
(hier wird die Hausdorff-Eigenschaft gebraucht, warum?), daher reichen endlich
viele.
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Lemma 1.9.5 Sei X ein Hausdorff-Raum.
• Ist X kompakt, so ist C 0 (X) = C(X).
• Ist X nichtkompakt, so ist C 0 (X) die Menge der stetigen Funktionen f , die durch
f (∞) = 0 zu einer stetigen Funktion auf der Einpunktkompaktifizierung ¯X = X ∪ {∞}
fortgesetzt werden können.
Beweis: Klar nach Konstruktion.
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Die Menge C 0 (X) ist ein komplexer Vektorraum. Mit f, g ∈ C 0 (X) ist aber auch das
punktweise Produkt f g : X → C; x ↦→ f (x)g(x) in C 0 (X). Dieses Produkt ist
• bilinear: ( f, g) ↦→ f g ist linear in jedem Argument, also
(λ f + µ f ′ )g = λ f g + µ f ′ g, sowie f (λg + µg ′ ) = λ f g + µ f g ′
für alle f, f ′ , g, g ′ ∈ C 0 (X) und λ, µ ∈ C, sowie
• assoziativ: f (gh) = ( f g)h für alle f, g, h ∈ C 0 (X).
Ein Vektorraum A zusammen mit einem bilinearen assoziativen Produkt A × A → A
nennt man eine Algebra. Eine Unteralgebra ist ein Unterraum B ⊂ A, der unter dem
Produkt abgeschlossen ist, d.h., der B · B ⊂ B erfüllt. Auch über R definiert man
Algebren in analoger Weise.
Beispiele 1.9.6 • M n (C) ist eine C-Algebra und die Menge der oberen
Dreiecksmatrizen ist eine Unteralgebra.
• Ist X ein nichtkompakter Hausdorff-Raum, so ist C 0 (X) eine Algebra und C c (X)
ist eine Unteralgebra.
Satz 1.9.7 (Satz von Stone-Weierstraß)
Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und sei A ⊂ C 0 (X) eine Unteralgebra so dass