Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 52
Für w ∈ l q sei α w : l p → C gegeben durch α w (z) = 〈z, w〉. Dann sagt die
Hoelder-Ungleichung ausserdem, dass α w ∈ (l p ) ′ und dass ||α w || op ≤ ||w|| q gilt. Wir
wollen nun zeigen, dass hier Gleichheit gilt. Sei dazu w ∈ l q mit ||w|| q = 1. Wir
müssen zeigen, dass α w die Operatornorm 1 hat. Definiere z = (z 1 , . . . ) durch
z j = θ j |w j | q p ,
wobei θ j ∈ C mit |θ j | = 1 so gewählt ist, dass w j z j ≥ 0 ist. Dann ist z ∈ l p und es
gilt
||z|| p p = 〈z, w〉 = ||w|| q q = 1.
Wir haben also ein z ∈ l p gefunden mit ||z|| p = 1 und α w (z) = 1, woraus ||α w || op = 1
folgt, so dass w ↦→ α w eine Isometrie ist. Wir müssen zeigen, dass diese Isometrie
surjektiv ist. Sei dazu α ∈ (l p ) ′ . Für n ∈ N sei e n = (0, . . . , 0, 1, 0 . . . ) mit der Eins
an der n-ten Stelle. Setze w n = α(e n ). Wir behaupten, dass die so entstehende
Folge w in l q liegt. Sei z n = (z 1 , . . . , z n , 0, . . . ) die bei n abgeschnittene Folge. Wir
wollen zeigen, dass ∑ ∞
j=1 |w j | q < ∞ ist. Betrachte hierzu
n∑
|w j | q =
n∑
|w j | q−1 |w j | =
n∑
|w j | q p |wj | =
n∑
z j w j = 〈z n , w〉 = |α(z n )| ≤ C ||z n || p ,
j=1
j=1
j=1
j=1
wobei z j = θ j |w j | q p
gewählt wird mit |θj | = 1 und C = ||α|| op ist. Nun ist wieder
〈z n , w〉 = 〈z n , w n 〉 = ||z n || p p = ||w n || q q und daher
C ≥ ||wn || q q
||z n || p
= ||wn || q q
||w n ||
q
p
q
= ||w n || q− q p
q = ||w n || q .
Die Folge ||w n || p ist monoton wachsend, also konvergent und daher ||w|| q < ∞.
Schliesslich gilt für beliebiges z ∈ l p ,
〈z, w〉 =
∞∑
z j w j = lim
n
n∑
z j w j = lim
n
α(z n ) = α(z).
j=1
j=1
Aus Symmetriegründen folgt dasselbe für vertauschte p und q. Insbesondere ist
l p reflexiv.
• Wir liefern nun ein Beispiel eines nicht reflexiven Raums. Sei l ∞ der