Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 119
10 Vektorwertige Integrale
10.1 Definition
Das hier eingeführte vektorwertige Integral wird nach seinem Erfinder auch
Bochner-Integral genannt. Sei (X, A , µ) ein Maßraum und sei V ein vollständiger
lokalkonvexer topologischer Vektorraum. Für eine Funktion f : X → V mit Werten in
V wollen wir ein Integral ∫ f dµ ∈ V definieren, so dass für jedes stetige lineare
X
Funktional α auf V die Formel
(∫ ) ∫
α f dµ = α( f ) dµ
X
X
gilt, wobei α( f ) als α ◦ f zu lesen ist.
Eine einfache Funktion ist eine Funktion s : X → V, die sich in der Form
s =
n∑
1 Aj b j
j=1
schreiben lässt, wobei A 1 , . . . , A n paarweise disjunkte messbare Mengen endlichen
Maßes sind, also µ(A j ) < ∞, und b j ∈ V. Wir definieren das Integral der einfachen
Funktion s als
∫
X
s dµ def
=
n∑
µ(A j )b j ∈ V.
j=1
Beachte, dass p (∫ s dµ) ≤ ∫ p(s) dµ für jede stetige Halbnorm p gilt und dass für jede
X X
lineare Abbildung T : V → W für einen Banach-Raum W gilt T (∫ s dµ) = ∫ T(s) dµ,
X X
wobei T(s) als T ◦ s zu lesen ist.
Wir versehen V mit der Borel-σ-Algebra. Eine messbare Funktion f : X → V heißt
integrabel, falls es ein Netz s n einfacher Funktionen gibt, so dass
lim
n
∫
X
p( f − s n ) dµ = 0
für jede stetige Halbnorm p gilt. In diesem Fall nennen wir (s n ) ein approximierendes
Netz.
Lemma 10.1.1 (netzfreie Formulierung) Eine messbare Funktion f : X → V ist genau