Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 67
also bijektiv ist.
Sei umgekehrt T invertierbar, dann folgt ||v|| = ∣ ∣ ∣∣T −1 Tv ∣ ∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣T ∣ ≤
−1 ∣ ∣∣ ||Tv||, man kann also
δ = 1/ ∣ ∣ ∣∣T ∣ −1 ∣ ∣∣ nehmen.
(d) Es gelte Tv = λv und es sei v 0, so folgt T(T ∗ v) = T ∗ Tv = λT ∗ v, also liegt T ∗ v
wieder im T-Eigenraum zum Eigenwert λ. Sei w ein weiterer Vektor in diesem
Eigenraum, so gilt 〈T ∗ v, w〉 = 〈v, Tw〉 = 〈v, λw〉 = λ 〈v, w〉 = 〈 λv, w 〉 . Da dies für jedes w
aus dem Eigenraum gilt, folgt T ∗ v = λv.
(e) Sind λ und µ zwei verschiedene Eigenwerte. Seien v und w zugehörige
Eigenvektoren, so gilt λ 〈v, w〉 = 〈λv, w〉 = 〈Tv, w〉 = 〈v, T ∗ w〉 = 〈 v, µw 〉 = µ 〈v, w〉 , also
〈v, w〉 = 0.
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Beispiele 5.4.4 • In der Linearen Algebra lernt man, dass jeder normale Operator
auf dem C n diagonalisierbar ist, dass also C n eine Basis von Eigenvektoren
besitzt.
• Jeder Operator T ∈ B(H) kann als Linearkombination von selbstadjungierten
Operatoren geschrieben werden:
T = Re(T) + i Im(T),
wobei Re(T) = 1 2 (T + T∗ ) und Im(T) = 1 2i (T − T∗ ). Es ist dann
T ∗ = Re(T) − i Im(T)
und T ist genau dann normal, wenn je zwei der drei Operatoren T, Re(T), Im(T)
miteinander kommutieren.